Sé que <span class="math-container">$f(x)$</span> está delimitado por el teorema del valor extremo, porque <span class="math-container">$f(x)$</span> se define en un intervalo limitado cerrado. Ahora, ¿cómo puedo demostrar que su derivado es integrable sabiendo que es continuo? ¿O hay un contraejemplo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Cualquier función continua en un recinto cerrado y acotado intervalo de $[a,b]$ es integrable. Ya, $f$ se da continuamente diferenciable, su derivada es continua en el dominio, y por lo tanto integrable.
Si sólo desea asumir que $f'$ es continua en a$(a,b)$ , entonces no es tan simple. Considere la función $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ definido por $$ f(x) = \begin{cases} 0, & x=0;\\ x^2 \sin (1/x^2), & x \neq 0. \end{casos} $$ Es diferenciable en todas partes, y su derivada es continua en a$(0,1)$, pero la derivada es ilimitado como $x \to 0^+$. Usted puede tomar un vistazo a las respuestas a esta pregunta para obtener más ejemplos de la delimitadas las funciones con unbounded derivados: Puede que la gráfica de una limitada función siempre tiene una desenfrenada derivados?
Picaud Vincent
Puntos
166
Si, de acuerdo a su pregunta, $f'$ es continua en un intervalo acotado (es decir, un conjunto compacto), no hace ninguna duda es Riemann-integrable (y por lo tanto también es Lebesgue integrable):
Una limitada función en un intervalo compacto $[a, b]$ es Riemann integrable si y sólo si es continua en casi todas partes (el conjunto de sus puntos de discontinuidad tiene medida cero, en el sentido de Lebesgue medir).
Ver: integral de Riemann
