¿Por qué el producto cruzado sólo se define en 3 y 7 dimensiones?

Question

Por qué $3$ y $7$ ? Sé por algunas lecturas que el Teorema de Hurwitz explica esto, pero ¿puede alguien ayudarme a construir alguna intuición detrás de esto o quizás proporcionar una explicación más simple? Me sigue pareciendo un misterio.

Answer 1

Dado que las únicas álgebras de división normadas son los números reales, los números complejos, los cuaterniones y los octoniones, el producto cruzado se forma a partir del producto del álgebra de división normada restringiéndolo al $0, 1, 3, 7$ dimensiones imaginarias del álgebra. Esto da no cero productos en sólo tres y siete dimensiones.

Ahora bien, ¿por qué se obtienen productos distintos de cero sólo en tres y siete dimensiones? ¿Por qué no en la dimensión $0$ ou $1$ ? Esto se debe a que en las dimensiones cero sólo existe el vector cero, por lo que el producto cruzado es idéntico a cero. En una dimensión todos los vectores son paralelos, por lo que en este caso también el producto es idéntico a cero.

Answer 2

Me gusta la explicación de Sanath Devalapurkar.

Pero además, tras investigar un poco más, veo que si identificas $\mathbb{R^7}$ con los octoniones estrictamente imaginarios, se puede definir explícitamente el producto cruzado en términos de multiplicación de octoniones con lo siguiente: $$x \times y = \operatorname{Im}(xy)=\frac{1}{2}(xy-yx).$$

A la inversa, podemos construir un espacio euclidiano con el producto cruzado isomorfo a los octoniones. Si $V$ es un espacio euclidiano de siete dimensiones con un producto cruzado dado, podemos tener la multiplicación bilineal en $\mathbb{R} \oplus V$ así: $$(a,x)(b,y)=(ab-x \cdot y, ay+bx+x\times y)$$

formando un isomorfismo $\psi:\mathbb{R} \oplus V \to \mathbb{O}$ .

Podemos hacer lo mismo en tres dimensiones, y en cualquier $n-1 > 2$ dimensiones tales que un álgebra de división sobre $\mathbb{R}$ existe para $n$ dimensiones - por lo que el producto cruzado se define sólo $3$ y $7$ dimensiones.