Estoy tratando de demostrar un caso especial de Vishik de la Forma Normal.
Considere la posibilidad de $T^2 := \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\mathbb{T}^2 \subset \mathbb{S}^3$, vamos a $h: \mathbb{\mathbb{S}^3}\to \mathbb{R}$ ser la función de $h(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1^2+x_2^2 -\frac{1}{2}$, e $\mathbb{S}^+ :=\{x \in \mathbb{S}^3; h(x)\geq 0\}$.
Decimos que $X$ es un campo de vectores en $\mathbb{S}^+$si $$X:\mathbb{S}^+ \to \mathbb{R^4} $$ es una función suave y $X(p)$ $\in$ $T_p\mathbb{S^3} \subset \mathbb{R}^4$, $\forall p \in \mathbb{S}^+$.
Para nuestros propósitos, vamos a considerar siempre $X(p) \neq 0$, $\ \forall \ p \in T^2$.
Notas: $Xh(p)= \nabla h(p) \cdot X(p)$ e $X^2 h(p)= \nabla Xh(p) \cdot X(p).$
Definición: Dejar $X$ ser un campo de vectores en $\mathbb{S}^+$ e $p$ $\in$ $T^2$. Si $Xh(p) = 0$ e $X^2 h(p) \neq 0$, $p$ se llama un doble punto.
El teorema de que estoy tratando de demostrar es la siguiente:
Teorema (Vishik de la Forma Normal) Deje $X$ ser un campo de vectores en $\mathbb{S}^+$ tal que todos los puntos en $T^2$ que satisfacer $Xh(q) =0$ son plegables puntos. Entonces, si $p$ $\in T^2$ es un doble punto, existe un conjunto abierto $V_p \subset \mathbb{S}^3$ y un gráfico de $\varphi: V_p \to U_0 \subset \mathbb{R}^3$ $(\varphi(p) = 0)$ tal que $\varphi_*X|_{\varphi(V_p)}$ es un germen en $\{0\}\times \mathbb{R}^2 \cap \varphi (V_p)$ del campo vectorial dado por: $$\left\{\begin{array}{l} \dot{x}_1=\varepsilon x_2,\\ \dot{x}_2=1,\\ \dot{x}_3=0. \\ \end{array}\right.$$ Donde $\varepsilon =\text{sgn}(X^2 h(p))$ e $\varphi^{-1}(\{0\}\times \mathbb{R}^2 \cap \varphi (V_p) )= V_p\cap T^2$.
No tengo muchas ideas de cómo demostrar este teorema y no sé qué hacer buena referencia. ¿Alguien sabe cómo demostrar este teorema o me puede dar algunas sugerencias de referencias (o)?
Mis ideas
Tenga en cuenta que $h$ es una función tal que $0$ es regular, el valor, entonces el uso de locales de la inmersión teorema existe un sistema de coordenadas local de $\phi: V_0 \subset \mathbb{R}^3 \to U_p \subset \mathbb{S}^3$ ($\phi(0) = p$), de tal manera que $h \circ \phi (x,y,z) = x$.
La definición de $Y(q) = D\phi^{-1}(\phi(q)) \cdot X(\phi(q))$, que son capaces de estudiar el problema en un abrir barrio de $0$ en el espacio topológico $\mathbb{H}^3 = \{(x,y,z); 0\leq x\}$, con algunos de cálculo es posible demostrar que si $f=h\circ \phi$, a continuación, $Y f(q) = Y_1(q)$ (donde $Y=(Y_1,Y_2,Y_3))$, lo que implica la definición de $X$que $Yf(0) =0$ y $Y^2 f(0) = Y(0) \cdot \nabla Y_1(0) \neq 0$.
Una vez $Yf(0,0,0) =0$ y, por hipótesis, $0\neq Y^2 f(0,0,0) = Y(0,0,0) \cdot \nabla Y_1(0,0,0)$, se puede concluir que, o bien $$\frac{\partial}{\partial y} Y_1(0,0,0) \neq 0\ \text{or} \ \frac{\partial}{\partial z} Y_1(0,0,0) \neq 0,$$ suponiendo sin pérdida de generalidad $\frac{\partial}{\partial y} Y_1(0,0,0)\neq 0$, y usando el teorema de la función implícita, existe $\tau: (-\varepsilon,\varepsilon)^2 \to (-\delta,\delta)$, de tal manera que $Y(x,\tau(x,z),z) =0$. La definición de los locales diffeomorphism $\psi (x,y,z) := (x,y+\tau(x,z),z)$ podemos (por el cambio de las coordenadas y y la disminución de la definición de dominio de $Y$) suponga que $Y = (Y_1,Y_2,Y_3)$, $Y_1(x,0,z) =0$ (redefinición $Y$ como $\psi^{-1}_* Y$).
Está claro que $$\frac{\partial Y_1}{\partial y}(0)\neq 0 \ \text{and}\ \frac{\partial Y_1}{\partial x}(0) = \frac{\partial Y_1}{\partial x}(0) = 0. $$
A través de esta pregunta Un cambio especial de coordiantes de un Campo de Vectores, podemos hacer un cambio de coordenadas $\zeta (x,y,z) = (x,\pi_{(2,3)} \circ \varphi (y,(x,0,z) )^{-1}$, donde $\varphi(t,z)$ es la solución de la educación a distancia
$$ \left\{\begin{array}{l} \dot{x} = Y(x)\\ x(0)=z,\\ \end{array}\right. $$ (somos capaces de extender $Y(x)$ a un abierto neighboorhood de $(0,0,0)$), lo que implica que
$$\zeta_* Y(x,y,z) = \text{d}\zeta (\zeta^{-1} (x)) Y(\zeta^{-1}(x))= \left(\begin{array}{c} Y_1\circ \zeta^{-1}(x,y,z)\\ 1\\ 0 \\ \end{array}\right)$$
Tenga en cuenta que todavía tenemos $Y_1(\zeta^{-1}(x,0,z)) = Y_1(x,\pi_{(2,3)}\circ \varphi(0,(x,0,z)) = Y_1(x,0,z) =0,$ y, en consecuencia,
$$\frac{\partial Y_1(\zeta^{-1})}{\partial x}(0) = \frac{\partial Y_1(\zeta^{-1})}{\partial z}(0) =0 \ \text{and}\ \frac{\partial Y_1(\zeta^{-1})}{\partial y}(0)\neq 0.$$
El campo de vectores es casi en la forma deseada, pero no sé cómo proceder, las sugerencias?
Otra cosa que he notado, pero no me llevan a ninguna parte, es que podemos definir el local diffeomorphism $\theta (x,y,z) = (x, Y_1\circ \zeta^{-1}(x,y,z),z)$ y podemos comprobar fácilmente que
\begin{align*} \theta_* ( \zeta_* Y)(x,y,z) &= \left(\begin{array}{c} y\\ \frac{\partial Y_1\circ \zeta^{-1} }{\partial x}\left(\theta^{-1}(x,y,z)\right) \cdot Y_1\circ \zeta^{-1} \circ \theta^{-1} (x,y,z) + \frac{\partial Y_1\circ \zeta^{-1}}{\partial y}(\theta^{-1}(x,y,z)) \\ 0 \\ \end{array}\right)\\ &= \left(\begin{array}{c} y\\ \nabla Y_1(\zeta^{-1})(\theta^{-1} (x,y,z)) \cdot \zeta_* Y (\theta^{-1}(x,y,z)) \\ 0 \\ \end{array}\right)\\ &= \left(\begin{array}{c} y\\ (\zeta_* Y)^2 \pi_1 \ (\theta^{-1}(x,y,z)) \\ 0 \\ \end{array}\right)\\ \end{align*}
sin embargo $\frac{\partial Y_1\circ \zeta^{-1} }{\partial x}\left(\theta^{-1}(x,y,z)\right) \cdot Y_1\circ \zeta^{-1} \circ \theta^{-1} (x,y,z) + \frac{\partial Y_1\circ \zeta^{-1}}{\partial y}(\theta^{-1}(x,y,z))$ no parece una constante.
