(Vishik ' s de forma Normal) Comportamiento de un campo del vector cerca del límite de un colector de

Question

Estoy tratando de demostrar un caso especial de Vishik de la Forma Normal.

Considere la posibilidad de $T^2 := \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\mathbb{T}^2 \subset \mathbb{S}^3$, vamos a $h: \mathbb{\mathbb{S}^3}\to \mathbb{R}$ ser la función de $h(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1^2+x_2^2 -\frac{1}{2}$, e $\mathbb{S}^+ :=\{x \in \mathbb{S}^3; h(x)\geq 0\}$.

Decimos que $X$ es un campo de vectores en $\mathbb{S}^+$si $$X:\mathbb{S}^+ \to \mathbb{R^4}$$ es una función suave y $X(p)$ $\in$ $T_p\mathbb{S^3} \subset \mathbb{R}^4$, $\forall p \in \mathbb{S}^+$.

Para nuestros propósitos, vamos a considerar siempre $X(p) \neq 0$, $\ \forall \ p \in T^2$.

Notas: $Xh(p)= \nabla h(p) \cdot X(p)$ e $X^2 h(p)= \nabla Xh(p) \cdot X(p).$

Definición: Dejar $X$ ser un campo de vectores en $\mathbb{S}^+$ e $p$ $\in$ $T^2$. Si $Xh(p) = 0$ e $X^2 h(p) \neq 0$, $p$ se llama un doble punto.

El teorema de que estoy tratando de demostrar es la siguiente:

Teorema (Vishik de la Forma Normal) Deje $X$ ser un campo de vectores en $\mathbb{S}^+$ tal que todos los puntos en $T^2$ que satisfacer $Xh(q) =0$ son plegables puntos. Entonces, si $p$ $\in T^2$ es un doble punto, existe un conjunto abierto $V_p \subset \mathbb{S}^3$ y un gráfico de $\varphi: V_p \to U_0 \subset \mathbb{R}^3$ $(\varphi(p) = 0)$ tal que $\varphi_*X|_{\varphi(V_p)}$ es un germen en $\{0\}\times \mathbb{R}^2 \cap \varphi (V_p)$ del campo vectorial dado por: $$\left\{\begin{array}{l} \dot{x}_1=\varepsilon x_2,\\ \dot{x}_2=1,\\ \dot{x}_3=0. \\ \end{array}\right.$$ Donde $\varepsilon =\text{sgn}(X^2 h(p))$ e $\varphi^{-1}(\{0\}\times \mathbb{R}^2 \cap \varphi (V_p) )= V_p\cap T^2$.

No tengo muchas ideas de cómo demostrar este teorema y no sé qué hacer buena referencia. ¿Alguien sabe cómo demostrar este teorema o me puede dar algunas sugerencias de referencias (o)?

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Mis ideas

Tenga en cuenta que $h$ es una función tal que $0$ es regular, el valor, entonces el uso de locales de la inmersión teorema existe un sistema de coordenadas local de $\phi: V_0 \subset \mathbb{R}^3 \to U_p \subset \mathbb{S}^3$ ($\phi(0) = p$), de tal manera que $h \circ \phi (x,y,z) = x$.

La definición de $Y(q) = D\phi^{-1}(\phi(q)) \cdot X(\phi(q))$, que son capaces de estudiar el problema en un abrir barrio de $0$ en el espacio topológico $\mathbb{H}^3 = \{(x,y,z); 0\leq x\}$, con algunos de cálculo es posible demostrar que si $f=h\circ \phi$, a continuación, $Y f(q) = Y_1(q)$ (donde $Y=(Y_1,Y_2,Y_3))$, lo que implica la definición de $X$que $Yf(0) =0$ y $Y^2 f(0) = Y(0) \cdot \nabla Y_1(0) \neq 0$.

Una vez $Yf(0,0,0) =0$ y, por hipótesis, $0\neq Y^2 f(0,0,0) = Y(0,0,0) \cdot \nabla Y_1(0,0,0)$, se puede concluir que, o bien $$\frac{\partial}{\partial y} Y_1(0,0,0) \neq 0\ \text{or} \ \frac{\partial}{\partial z} Y_1(0,0,0) \neq 0,$$ suponiendo sin pérdida de generalidad $\frac{\partial}{\partial y} Y_1(0,0,0)\neq 0$, y usando el teorema de la función implícita, existe $\tau: (-\varepsilon,\varepsilon)^2 \to (-\delta,\delta)$, de tal manera que $Y(x,\tau(x,z),z) =0$. La definición de los locales diffeomorphism $\psi (x,y,z) := (x,y+\tau(x,z),z)$ podemos (por el cambio de las coordenadas y y la disminución de la definición de dominio de $Y$) suponga que $Y = (Y_1,Y_2,Y_3)$, $Y_1(x,0,z) =0$ (redefinición $Y$ como $\psi^{-1}_* Y$).

Está claro que $$\frac{\partial Y_1}{\partial y}(0)\neq 0 \ \text{and}\ \frac{\partial Y_1}{\partial x}(0) = \frac{\partial Y_1}{\partial x}(0) = 0.$$

A través de esta pregunta Un cambio especial de coordiantes de un Campo de Vectores, podemos hacer un cambio de coordenadas $\zeta (x,y,z) = (x,\pi_{(2,3)} \circ \varphi (y,(x,0,z) )^{-1}$, donde $\varphi(t,z)$ es la solución de la educación a distancia

$$\left\{\begin{array}{l} \dot{x} = Y(x)\\ x(0)=z,\\ \end{array}\right.$$ (somos capaces de extender $Y(x)$ a un abierto neighboorhood de $(0,0,0)$), lo que implica que

$$\zeta_* Y(x,y,z) = \text{d}\zeta (\zeta^{-1} (x)) Y(\zeta^{-1}(x))= \left(\begin{array}{c} Y_1\circ \zeta^{-1}(x,y,z)\\ 1\\ 0 \\ \end{array}\right)$$

Tenga en cuenta que todavía tenemos $Y_1(\zeta^{-1}(x,0,z)) = Y_1(x,\pi_{(2,3)}\circ \varphi(0,(x,0,z)) = Y_1(x,0,z) =0,$ y, en consecuencia,

$$\frac{\partial Y_1(\zeta^{-1})}{\partial x}(0) = \frac{\partial Y_1(\zeta^{-1})}{\partial z}(0) =0 \ \text{and}\ \frac{\partial Y_1(\zeta^{-1})}{\partial y}(0)\neq 0.$$

El campo de vectores es casi en la forma deseada, pero no sé cómo proceder, las sugerencias?

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Otra cosa que he notado, pero no me llevan a ninguna parte, es que podemos definir el local diffeomorphism $\theta (x,y,z) = (x, Y_1\circ \zeta^{-1}(x,y,z),z)$ y podemos comprobar fácilmente que

$$\begin{align*} \theta_* ( \zeta_* Y)(x,y,z) &= \left(\begin{array}{c} y\\ \frac{\partial Y_1\circ \zeta^{-1} }{\partial x}\left(\theta^{-1}(x,y,z)\right) \cdot Y_1\circ \zeta^{-1} \circ \theta^{-1} (x,y,z) + \frac{\partial Y_1\circ \zeta^{-1}}{\partial y}(\theta^{-1}(x,y,z)) \\ 0 \\ \end{array}\right)\\ &= \left(\begin{array}{c} y\\ \nabla Y_1(\zeta^{-1})(\theta^{-1} (x,y,z)) \cdot \zeta_* Y (\theta^{-1}(x,y,z)) \\ 0 \\ \end{array}\right)\\ &= \left(\begin{array}{c} y\\ (\zeta_* Y)^2 \pi_1 \ (\theta^{-1}(x,y,z)) \\ 0 \\ \end{array}\right)\\ \end{align*}$$

sin embargo $\frac{\partial Y_1\circ \zeta^{-1} }{\partial x}\left(\theta^{-1}(x,y,z)\right) \cdot Y_1\circ \zeta^{-1} \circ \theta^{-1} (x,y,z) + \frac{\partial Y_1\circ \zeta^{-1}}{\partial y}(\theta^{-1}(x,y,z))$ no parece una constante.

Answer 1

Creo que usted está casi allí. Así, sólo una sugerencia:

Pensar en el sistema de coordenadas $\tilde\varphi:V_p\to U$ satisfacción $d\tilde\varphi(X)=(0,1,0)$. Si se reemplaza la primera coordenada por la función $h$, se puede conseguir algo cuya primera chorros $p$ es $(ax_2,1,0)$, $a=X^2h(p)$. No debería ser difícil para continuar a partir de aquí.

El sentido geométrico de la situación es que el $h$ es la coordenada de escapar de el Toro. Por lo tanto, si usted va en la dirección de $X$, empezar a escapar lentamente, con el inicio de escapar de velocidad 0, pero la aceleración. Tenga en cuenta que $Xh(p)=0$ sólo significa que $X$ es tangente al toro; $X^2h(p)\neq 0$ significa que está tratando de escapar ;)