Dos urnas contiene n bolas cada uno, numerados de 1 a n. Cogemos una bola de la primera y luego una bola de la segunda. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la segunda bola es
a) menor
b) igual al número de la primera bola?
Mi humilde intento:
b) $\frac{1}{n}$
a) Supongamos que el número escogido es $0< k\leq n$
Así que tenemos $k-1$ números de $< k$ e $n-k$ números de $> k$. No es la probabilidad de $\frac{n-k}{n}$ ?
Está a la derecha de la parte b. Por una parte, tenga en cuenta que la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo número es $1/n$, por lo que la probabilidad de que un número diferente es $(n-1)/n$. Ahora las dos bolas tienen la misma probabilidad de ser el más pequeño de los dos, por lo que la probabilidad de que la segunda bola es más pequeño que el primero es igual a $$\frac{n-1}{2n}.$$
Si usted no ve esto, se puede, de hecho, la condición de las probabilidades en el resultado del primer sorteo. Tenemos que tener \begin{align*}P(\text{ball 2 is smaller})&=\sum_{k=1}^nP(\text{ball 2 is smaller than ball 1}|\text{ball 1 equals }k)P(\text{ball 1 equals }k)\\&=\sum_{k=1}^nP(\text{ball 1 is }k)\cdot P(\text{bal }2\text{ is smaller than }k)\\&=\sum_{k=1}^n\frac1n\cdot\frac{n-k}{n}\\&=\sum_{k=1}^n\frac1n-\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}\\&=1-\frac{1}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}\\&=\frac{n-1}{2n},\end{align*} como se encontró antes.
Una simetría argumento está muy bien. Aunque en general puede que no siempre sea posible. Aquí es un enfoque más detallado.
El número de pares ordenados $(i,j)$ con $i<j$ pueden ser contadas como sigue:
$$\begin{align} i=1&: j\in \{2,...,n\} &... &\ \ \ \ \ n-1 \text{ pairs }\\ i=2&: j\in \{3,...,n\} &... &\ \ \ \ \ n-2 \text{ pairs }\\ i=3&: j\in \{4,...,n\} &... &\ \ \ \ \ n-3 \text{ pairs }\\ \vdots\\ i=n-1&: j\in \{n\} &...& \ \ \ \ \ 1 \text{ pair } \end{align}$$
La adición de estos, nos encontramos con que el número de simple e igualmente probables de los eventos de la satisfacción de su evento compuesto:
$$\sum_{i=1}^{n-1} (n-i) = \dfrac{n(n-1)}{2}$$
El número total de pares ordenados es $n^2$, por lo tanto la probabilidad es
$$\dfrac{n(n-1)}{2}\div n^2 = \dfrac{n-1}{2n}$$
Por un argumento similar, hay exactamente $n$ pares de la forma $(i,i)$. Por lo tanto, la probabilidad de que son iguales es
$$\dfrac{n}{n^2} = \dfrac{1}{n}$$
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