Convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\sqrt{n}}$ mediante la prueba integral

Question

Dada la serie : $$\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\sqrt{n}}$$ Determinar si es convergente o divergente.

La función es positiva y monótonamente decreciente de la función, así que he usado la "Integral de la Prueba"

$$\int_{1}^{\infty}e^{-\sqrt{x}}$$

entonces:$$ e^{-\sqrt{x}}\leq e^{\sqrt{x}}\leq e^{x}$$

$$\int_{1}^{\infty}e^{x}dx$$ , lo que es claramente Divergentes , pero la respuesta por alguna razón es convergente

Edit: lo Siento por la mala interpretación. Me olvidé de que si $f(x)>g(x)$ e $f(x)$ es divergente, esto no necesariamente significa que $g(x)$ es divergente(contrario a convergente). ¿Alguien tiene una dirección general para ¿cómo puedo suponer para resolverlo? Creo que la integral de la prueba es la más natural de la dirección para la solución de este

Answer 1

<span class="math-container">$u=\sqrt x;\ du=\frac{1}{2\sqrt x}dx\Rightarrow \int{1}^{\infty}e^{-\sqrt{x}}dx=2\int{1}^{\infty}ue^{-u}du $</span> y esta integral converge.

Answer 2

Para cada <span class="math-container">$n\in\mathbb N$</span> <span class="math-container">$e^{-\sqrt n}\leqslant\sqrt ne^{-\sqrt n}$</span>. Pero la serie <span class="math-container">$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sqrt ne^{-\sqrt n}$</span> converge, por la prueba integral:<span class="math-container">%#% $ #%</span>por lo tanto, la serie converge, también.

Answer 3

Sugerencia.

<span class="math-container">$$ \frac{1}{e^{\sqrt n}} n \le \frac{1}{e^{1.2\ln}} = \frac{1}{n^{1.2}} $$</span>

Answer 4

Sugerencia:

Cerca de <span class="math-container">$+\infty$</span> <span class="math-container">$\;n^2=o\bigl(\mathrm e^{\sqrt n}\bigr)$</span>, donde <span class="math-container">$\;\mathrm e^{-\sqrt n}=o\Bigl(\dfrac1{n^2}\Bigr)$</span>.

Answer 5

Estás confundiendo el sándwich/squeeze con el teorema de la integral de la prueba.

El sándwich teorema dice que si $g_1(x)<f(x)<g_2(x)$ e $g_1$ e $g_2$ convergen, a continuación, $f$ converge. El recíproco no se sostiene: si $g_1$ e $g_2$ divergen, eso no quiere decir que $f$ diverge. Si lo contrario fuera cierto, entonces cualquier función que es menor que $e^x$ sería divergentes, lo cual es absurdo.

La integral de la prueba, por otro lado, es un "si y sólo si" de la prueba, sino que sólo toma la integral de la secuencia. Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Integral_test_for_convergence . Así que usted debe tomar sólo la integral de $e^{\sqrt x}$, no $e^{-\sqrt x}$ o $e^{x}$