¿Cuántas veces debo lanzar un dado para evaluar con confianza su imparcialidad?

Question

(Disculpas de antemano por el uso de un lenguaje lego en lugar de un lenguaje estadístico).

Si quiero medir las probabilidades de sacar cada cara de un dado físico específico de seis caras con una precisión de +/- 2% con una confianza razonable de certeza, ¿cuántas tiradas de muestra se necesitarían?

Es decir, ¿cuántas veces tendría que lanzar un dado, contando cada resultado, para estar un 98% seguro de que las posibilidades de que ruede por cada lado están entre el 14,6% y el 18,7%? (O algún criterio similar en el que uno estaría un 98% seguro de que el dado es justo dentro del 2%).

(Esta es una preocupación del mundo real para los juegos de simulación que utilizan dados y quieren estar seguros de que ciertos diseños de dados están aceptablemente cerca de 1/6 de probabilidad de sacar cada número. Hay reclamaciones que muchos diseños de dados comunes se han medido tirando un 29% de 1's al lanzar varios de estos dados 1000 veces cada uno).

Answer 1

TL;DR: si $p$ = 1/6 y se quiere saber qué tamaño tiene $n$ necesita tener un 98% de seguridad de que los dados son justos (con una precisión del 2%), $n$ tiene que ser al menos $n$ 766 .

---

Dejemos que $n$ sea el número de rollos y $X$ el número de tiradas que caen en algún lado especificado. A continuación, $X$ sigue una distribución Binomial(n,p) donde $p$ es la probabilidad de obtener ese lado especificado.

Por el teorema del límite central, sabemos que

$$\sqrt{n} (X/n - p) \to N(0,p(1-p))$$

Desde $X/n$ es la media muestral de $n$ Bernoulli $(p)$ variables aleatorias. Por lo tanto, para grandes $n$ , los intervalos de confianza para $p$ puede construirse como

$$\frac{X}{n} \pm Z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

Desde $p$ es desconocido, podemos sustituirlo por la media de la muestra $\hat{p} = X/n$ y por varios teoremas de convergencia, sabemos que el intervalo de confianza resultante será asintóticamente válido. Así que obtenemos intervalos de confianza de la forma

$$\hat{p} \pm Z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

con $\hat{p} = X/n$ . Voy a suponer que sabes lo que $Z$ -Las puntuaciones son. Por ejemplo, si se quiere un intervalo de confianza del 95%, se toma $Z=1.96$ . Así que para un nivel de confianza dado $\alpha$ tenemos

$$\hat{p} \pm Z_\alpha \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

Ahora digamos que se quiere que este intervalo de confianza tenga una longitud inferior a $C_\alpha$ y quiero saber qué tamaño de muestra necesitamos para hacer este caso. Bueno, esto es equivalente a preguntar qué $n_\alpha$ satisface

$$Z_\alpha \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_\alpha}} \leq \frac{C_\alpha}{2}$$

Que luego se resuelve para obtener

$$n_\alpha \geq \left(\frac{2 Z_\alpha}{C_\alpha}\right)^2 \hat{p}(1-\hat{p})$$

Así que introduzca sus valores para $Z_\alpha$ , $C_\alpha$ y estimado $\hat{p}$ para obtener una estimación de $n_\alpha$ . Tenga en cuenta que, dado que $p$ es desconocido esto es sólo una estimación, pero asintóticamente (como $n$ se hace más grande) debería ser preciso.