Punto medio entero

Question

Dos puntos de $(c, d, e),(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$, podemos decir que el punto medio de estos dos puntos es el punto con coordenadas $\left(\frac{c+x}{2} , \frac{d+y}{2} , \frac{e+z}{2}\right)$

Tomar cualquier conjunto $S$ de los nueve puntos de $\mathbb{R}^3$ con coordenadas enteras.

Demostrar que debe haber al menos un par de puntos en $S$ cuyo punto medio también tiene coordenadas enteras.

He tratado de hacer un ejemplo con lo que establezca la $$S=\{(2,2,2),(1,8,2),(3,4,5),(5,2,2),(4,2,9),\\(2,1,4),(6,8,2),(0,0,0),(5,2,3)\}$$

Así que tomando $2$ puntos $(3,4,5)$ e $(5,2,3)$ por lo $(3+5)/2=4$, $(4+2)/2=3$, $(5+3)/2 = 4$, que son números enteros. Estoy queriendo este argumento para sostener en general, y me estoy dando cuenta que es difícil probar esto ¿alguien tiene alguna sugerencia estaria muy agradecido!

Answer 1

Sólo para reiterar lo que he dicho anteriormente, si tenemos una lista de los posibles coordinar las paridades de las $3$-tuplas, tenemos

$$\{(e,e,e),(e,e,o),(e,o,e),(e,o,o),(o,e,e),(o,e,o),(o,o,e),(o,o,o)\}$$

Así que hay $8$ diferentes paridad $3$-tuplas posibles. También tenga en cuenta la adición de pares e impares enteros;

$$e+e=e,$$ $$o+o=e,$$ $$e+o=o$$

Así, en orden de su punto medio a ser un número entero, necesitamos tener los puntos que se agregan a tener las coordenadas de la misma paridad. Por lo tanto, ya tenemos 9 puntos, suponiendo que nuestros primeros 8 puntos de distinta paridad combinaciones como el anterior, el 9 debe ser uno de estos 8 posibilidades. Si se suman los dos puntos que tienen la misma coordenada de la paridad de la estructura, esto dará como resultado un número par, que es divisible por 2, y así por el principio del Palomar, hay al menos 1 punto medio que contiene coordenadas enteras. Y como Robert Z señaló en sus soluciones, esto puede ser extendido a $n$-tuplas así.

Answer 2

Sugerencia. Lea cuidadosamente Once-Once del comentario (o echar un vistazo a Pigeon-Hole Principio y 2d de la cuadrícula?) y, usando el Principio del Palomar, mostrar el siguiente afirmación más general: en cualquier conjunto de $2^n+1$ puntos en $\mathbb{Z}^n$ hay al menos un par que tiene el punto medio en $\mathbb{Z}^n$.