¿Por qué Wolfram|Alpha comete un error aquí?

Question

Queremos evaluar $$\lim_{x \to -8}\frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}.$$ El proceso de resolución puede escribirse como sigue: \begin{align*}\lim_{x \to -8}\frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}&=\lim_{x \to -8}\left[\frac{(\sqrt{1-x}-3)(\sqrt{1-x}+3)}{(2+\sqrt[3]{x})(4-2\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2})}\cdot \frac{4-2\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{1-x}+3}\right]\\&=\lim_{x \to -8}\left[\frac{-(x+8)}{x+8}\cdot \frac{4-2\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{1-x}+3}\right]\\&=-\lim_{x \to -8} \frac{4-2\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{1-x}+3}\\&=-2.\end{align*}

Pero cuando introduzco este

lim\frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}} as x to -8

en Wolfram|Alpha, da el límite $0$ .

¿Por qué Wolfram|Alpha comete un error aquí?

Answer 1

WolframAlpha entiende la expresión $\sqrt[3]{x}$ para la x negativa de una manera diferente a la esperada.

Prueba con este : lim\frac{\sqrt{1-x}-3}{2+surd(x,3)} as x to -8

Answer 2

Si se toman las raíces complejas de $\sqrt[3]{x}$ se obtiene $0$ como límite, porque el denominador es diferente de cero en este caso.

Por lo tanto, Wolfram|Alpha no cometió un error sino que simplemente utiliza una raíz diferente de $\sqrt[3]{x}$ .

Para la raíz real se obtiene $-2$ :

• $t^3 = -x \Rightarrow \lim_{x \to -8}\frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}} = \lim_{t \to 2}\frac{\sqrt{1+t^3}-3}{2-t} = -f'(2) \mbox{ for } f(t) = \sqrt{1+t^3}$

$$f'(t) = \frac{3t^2}{2\sqrt{1+t^3}}\Rightarrow \lim_{x \to -8}\frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}} = - f'(2) = -2$$

Answer 3

En Mathematica 11.3 obtengo

In[1]:= Limit[(Sqrt[1 - x] - 3)/(2 + CubeRoot[x]), x -> -8]
Out[1]= -2

La documentación de Mathematica dice CubeRoot[x] da la raíz cúbica de valor real de $x$ .

Incluso

In[4]:= -8^(1/3)
Out[4]= -2

Mathematica me da las respuestas correctas

Answer 4

Creo que Wolfram Alpha se equivoca aquí, independientemente de lo que digan los demás. La raíz cúbica de un número real negativo debería ser real por defecto. Pero de todos modos puedes evitarlo pidiéndole a Wolfram Alpha

$$\lim_{x \to -8}\frac{\sqrt{1-x}-3}{2-\sqrt[3]{-x}}$$

Introducción de

lim\frac{\sqrt{1-x}-3}{2-\sqrt[3]{-x}} as x to -8

da $-2$ como era de esperar.