¿Qué es el razonamiento detrás de esta pregunta de exponentes?

Question

Qué es <span class="math-container">$3^{3^{3}}?$</span>

<span class="math-container">$3^{3^{3}} $</span>Enchufar la calculadora da 7625597484987. ¿Creo porque esto implica que el <span class="math-container">$3^{3^{3}}=3^{27}$</span>, es esto cierto?

Y enchufar <span class="math-container">$(3^{3})^{3}$</span> da 19683, porque <span class="math-container">$ (3 ^ {3}) ^ {3} = 3 ^ {3} \times 3 ^ {3} \times 3 ^ {3} = 3 ^ {9} = 19683$</span>

¿Así que cuál es la respuesta correcta y por qué?

Answer 1

A diferencia de la adición y la multiplicación, la exponenciación no es asociativa:

• $(a+b)+c=a+(b+c)$
• $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

pero

• ($a$^$b$)^$c\ne a\!$^($b$^$c$), más comúnmente escrito como: $\left(a^b\right)^c \ne a^{\left( b^c \right)}$

Esto significa que no hay ningún riesgo en simplemente escribir "$a+b+c$" o "$a \times b \times c$" ya que el orden en que se realizan las operaciones no importa en ambos casos.

Para la exponenciación este no es el caso y la escritura "$a$^$b$^$c$" es ambiguo, pero lo tenemos:

$$\color{blue}{\left(a^b\right)^c = a^{bc}} \ne a^{\left( b^c \right)}$$

Porque tenemos esta propiedad (en azul), es común interpretar $a^{b^c}$ como $a^{\left( b^c \right)}$ pero si usted quiere evitar la confusión, siempre se puede añadir los paréntesis.

Answer 2

El aceptó respuesta no es totalmente explícito, pero la razón por la $a^{b^c}$ medio $a^{(b^c)}$ no es puramente matemático, pero convencional. Hemos elegido utilizar la exponenciación de la notación de esta manera, es decir, todo el superíndice de la expresión es el exponente, como este: $a^\boxed{b^c}$. Y es importante tener en cuenta que nos puede hacer una convención, porque es inequívoca; siempre se puede hacer es borrar el formato de superíndice lo que se supone debería ser el exponente.

Como StackTD dijo, la adición y la multiplicación son asociativos, y por lo tanto no es problemático el uso de una lineales notación y omitir los paréntesis. En contraste, la exponenciación no es asociativa, así que tiene sentido utilizar este tipo de no-lineales notación de modo que se pueda omitir los paréntesis! Usted puede imaginar el formato de superíndice como, literalmente, de pie en el horquillado.

Análogamente para otros notación de problemas; el primer paso es saber con precisión qué es la convención para la interpretación de la notación. Por ejemplo, $-2^3$ es por convención interpretado como $-(2^3)$ debido a la exponenciación se da más prioridad que la negación, y $2+3·4 = 14$ porque $·$ tiene mayor prioridad que $+$.

Answer 3

un ^ b ^ c y (a ^ b) ^ c son diferentes porque (un ^ b) ^ c es lo mismo que una ^ b multiplicado por sí mismo <span class="math-container">$c$</span> veces. a ^ b ^ c es bastante confuso, por lo que debe usar paréntesis como éste: a^(b^c), <span class="math-container">$a$</span> multiplicado por sí mismo b ^ c veces. a ^ b ^ c debe tener paréntesis para evitar confusiones.

Answer 4

Recordar el orden de las operaciones. Por favor disculpa mi querida Sally tía

Entre paréntesis exponentes se multiplican y dividen y finalmente sumar y restar.

Así <span class="math-container">$3^{3^3}$</span> tiene exponentes de exponentes que significa <span class="math-container">${b^c}$</span> <span class="math-container">$a^{b^c}$</span> se evalúa primero.