Cómo resolver una ecuación funcional $f(x+y)=f(x)+f(y)-f(0)$ .

Question

He encontrado en mi investigación una ecuación funcional que no estoy seguro de cómo resolver en general. Es similar a la ecuación funcional de Cauchy pero incluye un término constante extra de $-f(0)$ . No soy un experto en ecuaciones funcionales, así que cualquier ayuda se agradecería.

La ecuación funcional es $f(x+y)=f(x)+f(y)-f(0)$

Esto es en realidad una parte de un par de ecuaciones funcionales que $f$ tiene que satisfacer, pero al principio me interesa sólo resolver esta primera ecuación funcional. La otra ecuación es $f(-x)=-f(x)+2f(0)$ y $f$ tiene que satisfacer tanto la anterior como esta otra.

Claramente $f(x) = x$ resuelve las ecuaciones funcionales, al igual que cualquier función de la forma $f(x)=ax+b$ Pero, ¿hay otras soluciones?

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Definir $g(x) = f(x) - f(0)$ . Tenga en cuenta que la condición $f(x + y) = f(x) + f(y) - f(0)$ es equivalente a la condición $g(x + y) = g(x) + g(y)$ . Así, las soluciones para $f$ son precisamente las soluciones de la ecuación funcional de Cauchy, más una constante arbitraria.

Su segunda condición es simplemente un caso especial de su primera condición, por cierto, sustituyendo $-x$ para $y$ .

Answer 2

Nota $g(x)=f(x)-f(0)$ satisface la ecuación funcional de Cauchy.