Posible error tipográfico en la teoría de la medida de Bogachev

Question

Yo tengo un problema con la definición de una medida de espacio en Bogachev, la Teoría de la Medida. El autor (Definición 1.3.2, p. 9) se supone que una medida es un countably aditivo función definida en un álgebra de conjuntos (Definición 1.2.1, p. 3), y dejar una contables aditivo establecer la función de ser un valor real de conjunto de la función (para el cual las condiciones habituales). Pero (véase la parte superior de la p. 9) un valor real de la función de los medios, en la terminología de Bogachev, una función con valores en el abierto intervalo de $(-\infty, +\infty)$, por lo que, en particular, una medida que no está permitido tomar el valor de $+\infty$. Esto se ve como un error tipográfico para mí, así que me gustaría saber, (i) si me falta algo obvio y (ii) si no es una errata corrige por el libro en algún lugar.

Edit. Estoy más convencido de que es un error tipográfico ya que más adelante, en el Ejemplo 4.7.89 (p. 311), el autor menciona el recuento de medida, que él define, como de costumbre, como la cardinalidad de la medida del conjunto. Pero realmente me gustaría saber de alguien más.

Gracias.

Answer 1

Lo siento, que voy a responder mi propia pregunta, porque sólo me he dado cuenta de que Bogachev distingue entre medidas finitas , que se refiere simplemente como medidas e infinitas medidas, que son introducidas más adelante en la sección 1.6. Así, no es ningún error en su definición de (a) medidas.

Answer 2

Sus sospechas son correctas. Se supone que debe ser extendida con un valor real de la función (es decir, de conjuntos de a $\mathbb{R} \cup \{-\infty\} \cup \{+\infty\}$). Aquí es cómo un finitely aditivo función de conjunto se define en el libro de texto que he aprendido de (Dudley, Análisis Real y Probabilidad):

Una función de $\mu$ $\mathcal{C}$ a $[-\infty,\infty]$ se dice que finitely aditivo iff $\mu(\emptyset)=0$ y siempre que $A_i$ son distintos, $A_i \in \mathcal{C}$ $i=1,\ldots,n$ y...

Hay un teorema acerca de countably aditivo conjunto de funciones que requiere la función de ser finito-valorada, aunque. Tal vez usted puede pensar de un contraejemplo para ilustrar por qué:

Deje $\mu$ ser un finitely aditivo, con un valor real de la función en un álgebra $\mathcal{A}$. A continuación, $\mu$ es countably aditivo si y sólo si $\mu$ es continua en a $\emptyset$.