Encuentra los valores enteros para los cuales $\left(\pi(x+y)\right)^2=4\pi(x)\pi(y)$

Question

Sea $\pi(x)$ la función de conteo de números primos. El problema es,

Encuentra todos los valores enteros de $x,y$ tales que,

$$\left(\pi(x+y)\right)^2=4\pi(x)\pi(y)$$

No tengo ni idea de por dónde empezar. Creo que probablemente habrá alguna desigualdad después de algunos $x$ y $y$ lo suficientemente grandes, pero no puedo demostrarlo.

De hecho, parece que para todo $x$ y $y$ suficientemente grandes tendremos $4\pi(x)\pi(y)>(\pi(x+y))^2$ pero no puedo encontrar el límite inferior.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Para cada primo $p$ tenemos $$ \pi(p+k) = \pi(p + k + \ell), $$ donde tanto $k$ como $\ell$ son positivos, y $k + \ell < n_p$, y $n_p$ se define como $$ \pi(p) + 1 = \pi(p+n_p) = \pi(p') $$

Buscamos soluciones $$ \pi^2(p + k + \ell) = 4 \pi(p + k) \pi(\ell), $$

tal que $$ \pi(p + k + \ell) = \pi(p + k) = 4 \pi(\ell) $$

lo cual es más fácil de resolver.

Caso $\ell = 2$. $$ \ell=2 \Rightarrow \pi(\ell) = 1 : \pi(p) = 4 \Rightarrow p = 7, n_7 = 4, \ell < 4. $$ Entonces, estas soluciones son $$ (x,y) \in \big\{ (2,7), (2,8), (7,2), (8,2) \big\}. $$

Caso $\ell = 3$. $$ \ell=3 \Rightarrow \pi(\ell) = 2 : \pi(p) = 8 \Rightarrow p = 19, n_19 = 4, \ell < 4. $$ Entonces, estas soluciones son $$ (x,y) \in \big\{ (3,19), (19,3) \big\}. $$

No parece que aparezcan soluciones más altas, ya que $\pi(p)$ crece más rápido que $n_p$...