Área de superficie del sólido por revolución de una función logarítmica alrededor de$y$ - eje?

Question

Estoy tratando de obtener el área de superficie de esta ecuación en el eje$y$ pero no puedo integrarlo.

$$ \begin{align*} x=f(y)&= \frac{7\ln \left(4^\frac{5}{7}y\right)}{\ln(4)}\\ \frac{dx}{dy}=f'(y) &= \frac{7}{y\ln4} \end{align*}$$ so to get the surface area $$ \begin{align*}S_x&=\int_a^b2\pi x\,\sqrt{1+\Big(\frac{dx}{dy}\Big)^2}\,dy\\ &=\int_1^42\pi \left(\frac{7\ln(4^\frac{5}{7}y)}{\ln4}\right)\,\sqrt{1+\Big(\frac{7}{y\ln4}\Big)^2}\,dy\\ &=\frac{7\cdot 2\pi}{\ln4} \int_1^4\ln \left(4^\frac{5}{7}y\right)\,\sqrt{1+\Big(\frac{7}{y\ln4}\Big)^2}\,dy \end{align*}$ $ ¿cómo puedo integrar esto? He pasado casi 3 horas pero no puedo integrarlo.

Answer 1

Supongo que esta integral es muy difícil de ser evaluado (o no puede ser evaluada directamente. Usted necesita un aproximado utilizando la la regla de Simpson.

Para su referencia, aquí está un enlace (Comprobación de la pregunta no. 17) a una pregunta similar que he encontrado que utiliza la regla para evaluar el área de la superficie obtenida a partir de la revolución de una función logaritmo. Abajo está la cita desde el mismo enlace.

$y=ln(x), 1\leq x \leq 3.$

$\begin{align*}S=\int_1^32\pi\ln(x)\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\,dx.\end{align*}$

Deje $f(x)=\ln(x)\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ , Desde $n=10$, $\Delta x=\frac{3-1}{10}=\frac{1}{5}.$

Entonces $S=S_{10}=2\pi\frac{1/5}{3}[f(1)+4f(1.2)+2f(1.4)+..+2f(2.6)+4f(2.8)+f(3)]\approx9.023754.$

El citado resultado es correcto a seis lugares decimales. Espero que te ayude un poco.