¿Puede existir una función continua con esta propiedad?

Question

Puede una función continua $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ con la siguiente propiedad existe: si $x \in \mathbb{Q}$,$f(x) \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, y si $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$,$f(x) \in \mathbb{Q}$?

Mi intento: no veo ningún problema con esta función. Quería comprobar si es coherente con el teorema del valor intermedio. Deje $x_1, x_2 \in \mathbb{Q}$ y supongamos que $x_1 < x_2$. A continuación,$f(x_1) = y_1 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$$f(x_2) = y_2 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$. Teorema del valor intermedio dice que por cada $y$ satisfacción $y_1 < y < y_2$ existe un $x$ satisfacción $x_1 < x < x_2$ tal que $f(x) = y$. Así que tomé una $y \in \mathbb{Q}$ satisfacción $y_1 < y < y_2$ (puedo hacerlo desde $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$). Entonces, desde el $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ también es denso en $\mathbb{R}$, no existe, ciertamente, una $x$ con la propiedad de que $x_1 < x < x_2$$f(x) = y$.

O es que hay tal vez algo peor con esta función que no veo?

Answer 1

Voy a basar mi respuesta en el Señor de David Mitra del comentario, porque podría darse el caso de que alguien no puede entender su comentario totalmente.

Supongamos que $f:\Bbb R\to \Bbb R$ ser una función tal que $$\begin{align} f(x)\in\Bbb Q &\quad\text{for all}\quad x\in\Bbb Q^c \\ f(x)\in\Bbb Q^c &\quad\text{for all}\quad x\in\Bbb Q. \end{align}$$

Se puede demostrar que $\mathcal R(f)$, el rango de $f$, es una contables conjunto. De hecho, $$ \mathcal R(f)=\mathcal R(f|_{\Bbb Q})\cup\mathcal R(f|_{\Bbb Q^c})\ . $$ Desde $\mathcal R(f|_{\Bbb Q})$ es la imagen de contables, es contable. $\mathcal R(f|_{\Bbb Q^c})$ es contable por parte de la suposición de que $\mathcal R(f|_{\Bbb Q^c})\subseteq\Bbb Q$. Por lo tanto $\mathcal R(f)$ es la unión de conjuntos contables por lo que es contable.

Sin embargo, cada continuo de la función $f:\Bbb R\to\Bbb R$ es una constante o su imagen, es decir,$\mathcal R(f)$, es incalculable!

Para ver esto, supongamos que $f$ no es una función constante (es obvio a partir de las condiciones en las $f$ que $f$ no puede ser una función constante), es decir, no existe $x,y\in\Bbb R$ tal que $f(x)\ne f(y)$. Denotar $$ a=\min\{ f(x),f(y)\}, \\ b=\max\{ f(x),f(y)\}. $$

Por el Teorema del Valor Intermedio, por cualquier $c\in(a,b)$ no es un porcentaje ($\xi$$x$$y$tal que $f(\xi)=c$. Esto demuestra que $$ [a,b]\subconjunto \mathcal R(f), $$ contradiciendo el hecho de que $\mathcal R(f)$ es contable.

Conclusión: este tipo de función $f$ no existe.