¿Reducir una matriz a su forma escalonada por filas es útil en absoluto?

Question

Apenas he comenzado a auditar Álgebra Lineal, y lo primero que aprendimos fue cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales reduciéndolo a la forma escalonada por filas (o forma escalonada reducida por filas). Sé cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales usando determinantes, por lo que usar la forma escalonada por filas parece ser muy ineficiente y una forma fácil de cometer errores.

El profesor parecía indicar que esto será útil en el futuro para algo más, pero un amigo que tiene un doctorado en matemáticas dijo que es totalmente inútil.

¿Es esto cierto? ¿Esta técnica es totalmente inútil o hay algún campo/técnica de "matemáticas superiores" donde la forma escalonada por filas será útil?

Answer 1

Ir más allá de 2 x 2 y la forma escalonada de fila es la manera de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Estas cosas no se hacen a mano, sino por una computadora. La forma escalonada de fila es mucho, mucho más rápida que usar determinantes (fórmula de Cramer). Pregúntale a alguien que trabaje en análisis numérico sobre esto. Tu amigo con un doctorado claramente no está al tanto de las necesidades de matemáticas aplicadas.

En matemáticas puras, la fórmula de Cramer es muy importante para algunas demostraciones (y personalmente la prefiero por razones conceptuales sobre el negocio algorítmico de la forma escalonada de fila, pero luego no trabajo en análisis numérico). En problemas de matemáticas aplicadas que dan lugar a sistemas de ecuaciones lineales, típicamente te enfrentas a ecuaciones en cientos de variables. No vas a resolver eso con un determinante. Además, si una computadora necesitara encontrar un determinante de una matriz de 100 x 100 no usaría la suma de 100! términos como en la fórmula de expansión de Laplace para determinantes, sino que aplicaría algoritmos más rápidos (el algoritmo QR).

Tu perfil dice que estás estudiando economía. En algún momento cuando necesites lidiar con algún sistema de ecuaciones lineales en economía y hacer que la computadora lo resuelva por ti, el método de solución podría tratarse como una caja negra de la misma manera en que la mayoría de las personas conducen sin saber realmente cómo funciona un automóvil. Pero la realidad es que si no fuera por el algoritmo de reducción a forma escalonada de fila, la computadora no podría resolver sistemas de cientos de ecuaciones rápidamente.

Answer 2

La eliminación gaussiana en una matriz de $n \times n$ lleva un orden de $n^3$ operaciones, donde una operación es una suma, resta, multiplicación o división. En contraste, calcular determinantes usando la expansión por cofactores lleva $n!$ operaciones, que es mucho, mucho más largo.

Por ejemplo, considera una matriz de $100 \times 100$. Entonces, $100^3$ son un millón, y un millón de operaciones pueden ser realizadas por una computadora portátil típica en menos de un segundo; pero $100!$ es aproximadamente $1$ seguido por $158$ ceros, lo cual tomaría incluso a una supercomputadora más tiempo que la edad del universo.

De hecho, creo que lo opuesto a tu afirmación es cierto: si quieres calcular determinantes, la mejor manera es reducir a forma escalonada.

Answer 3

Alexx ya cubrió gran parte de lo que quería decir, así que permítanme compartir algo que había escrito Forman Acton en su (¡excelente!) Métodos Numéricos que Funcionan sobre el tema:

...el hecho de que esta secuencia de operaciones requiere (mucho más) trabajo por parte del ordenador en comparación con una solución directa del problema mediante (eliminación gaussiana) nunca ha penetrado en la conciencia del estudiante. La fluidez de la notación matemática formal ha oscurecido las realidades del proceso aritmético. La solución es bastante simple: se debería pedir al estudiante que resuelva un sistema 4 por 4, a mano, de ambas formas. Pero este tipo de realismo está actualmente pasado de moda, considerándose que el trabajo aritmético es adecuado únicamente para las máquinas.

Answer 4

Además de su increíble utilidad en cálculos prácticos, la forma escalonada también es un caso especial de una construcción general llamada descomposición de Bruhat que es importante en la teoría de grupos de Lie y grupos algebraicos.

Answer 5

1. Creo que la única utilidad real de la regla de Cramer, además de resolver sistemas de 2x2 a mano, es que, para un sistema general de ecuaciones lineales $AX = B$ con $\det A \neq 0$, muestra claramente http://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule la dependencia continua de la solución con respecto tanto a $A$ como a $B.
2. Pero, por la misma razón, la regla de Cramer es muy peligrosa porque ese $\det A$ que aparece en el denominador: usarlo con una computadora para valores pequeños de $\det A$ hace que los errores crezcan rápidamente.
3. Sin embargo, debo confesar que me siento algo incómodo al decir este tipo de cosas a mis estudiantes, ya que podrían (y a veces lo hacen) argumentar fácilmente: (a) ¿Vamos a resolver realmente algún sistema, digamos, 5x5 de ecuaciones lineales a mano? (b) ¿A quién le importa lo que realmente hace la computadora para resolver el sistema? - Lo único que necesito es la solución.

Ante estas objeciones embarazosas, tengo el siguiente problema: intenta resolver algunos sistemas simultáneos de ecuaciones lineales. Es decir, por ejemplo, dos sistemas $AX = B_1$ y $AX = B_2$, con el mismo $A$. Por supuesto, puedes aplicar la regla de Cramer dos veces, pero el algoritmo de reducción por filas escalonadas te permite resolverlo de una vez, ya que las operaciones para reducir el sistema dependen solamente de $A. En cálculos manuales, puedes aprovechar esto colocando ambas matrices $B_1$ y $B_2$ juntas de esta manera:

$$ (A \vert B_1 B_2) $$

Por supuesto, esto se puede explotar aún más para cualquier número de sistemas simultáneos $AX = B_1, \dots , AX=B_n$:

$$ (A \vert B_1 B_2 \dots B_n) \ . $$

Por ejemplo, invertir una matriz es un problema de resolver un sistema simultáneo de ecuaciones lineales:

$$ AX = I \quad \Longleftrightarrow \quad (A \vert e_1 \dots e_n) \ , $$

donde $I$ es la matriz identidad y $e_1, \dots , e_n$ es la base estándar de $\mathbb{R}^n$.