¿Cómo puedo mostrar que $\lim_{n\to\infty} 2^n \left( \frac{n}{n+1} \right ) ^{n^2} = 0$?

Question

Cómo calcular el límite de la siguiente expresión: %#% $ de #% sé que límite de esta secuencia es igual a cero, pero ¿cómo demostrar que?

Answer 1

$$\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-n^2}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n^2}=\exp\left{-n\cdot\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}} \right}$$

por lo tanto $$2^n\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}=\exp{n\ln 2}\cdot \exp\left{-n\cdot\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}} \right}=\exp\left{n\ln 2-n\cdot\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}} \right}=\exp\left{n\underbrace{\left(\ln(2)-\underbrace{\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}}{\to 1}\right)}{\to \ln(2)-1

Answer 2

Tenemos: $$\frac{1}{n}\geq \log\left(1+\frac{1}{n}\right)=\int_{n}^{n+1}\frac{dt}{t}\geq\frac{1}{n+1},\tag{1}$ $ por lo tanto: $$ n\log 2-n^2\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\leq n(\log 2-1)+\left(1+\frac{1}{n}\right),\tag{2}$ $ y desde $\log 2-1

Por exponentiating $(2)$, conseguimos que nuestro límite es cero.

Answer 3

$(\frac{n}{n+1})^{n^{2}} = ( 1 -\frac{1}{n+1})^{n^{2}}$. Para suficientemente grande $n$, $(1 - \frac{1}{n+1})^{n+1}$ está muy cerca de $e^{-1}$, así que es menos de $\frac{2}{5}$ $e >2.5.$ entonces $( 1 -\frac{1}{n+1})^{n^{2}}

Answer 4

$2^n (\frac{n}{n+1})^{n^2}$ = $(\frac{n2^{1/n}}{n+1})^{n^2}$ Tomando log

$n^2 \log (\frac{n2^{1/n}}{n+1})=\frac{\log (\frac{n2^{1/n}}{n+1})}{1/n^2}=\frac{1/n \log(2)+\log (n/(n+1))}{1/n^2}$

Numerador y denominador van a $0$, aplicando la regla de L hospitales

$\frac{-1/n^2 \log(2) +1/(n(n+1))}{-2/n^3} = 1/2(n \log(2))-n^2/(n+1))=(n/2)(log(2)-n/(n+1))$

$\lim_{n \to \infty} log(2)-n/(n+1)=log(2)-1Así, $n^2 \log (\frac{n2^{1/n}}{n+1}) \to -\infty$

Esto demuestra que $n^2 \log (\frac{n2^{1/n}}{n+1})\to 0$

Answer 5

PS