Topologizar el$I$ en$\prod_{i\in I} X_i$

Question

Yo sé de dos construcciones para la producción de topologías en una función de espacio:

1. $I$ es un conjunto, $(X_i)_{i\in I}$ es una colección de espacios topológicos; en este caso la topología inicial w.r.t las proyecciones $\pi_i:\prod_{k\in I} X_k\to X_i$ se llama el (indexado) producto de la topología.

2. $I,X$ son espacios topológicos; entonces podemos formar el conjunto $C(I,X)$ de funciones continuas $I\to X$ y topologize con el compacto-abierta de la topología.

Las dos definiciones de acuerdo al $I$ es un conjunto (tratados como discretos para los fines de (2)) y $X_i=X$ es constante, por lo que el $C(I,X)=\prod_{i\in I}X$. Por lo tanto, podemos, en cierto sentido, entender el conjunto de índices $I$, como siempre, siendo discretos en los productos de la topología.

Es allí una manera de generalizar estas dos construcciones en donde el conjunto de índices es topologized, pero las fibras no son todos iguales? Los haces de fibras parecen ser similares, pero parecen ser más como el binario topológico producto $X\times Y$. Por último, también he visto algunas afirmaciones en el sentido de que HoTT se ha convertido en un espacio topológico con estas propiedades (dado que todos sus tipos actúan como espacios topológicos, y pasan a tener un tipo dependiente constructor), pero no sé cómo se vería en la escuela primaria términos.

Answer 1

La primera cosa a hacer es formalizar lo que significa tener un "continuo" de la familia $\{X_i\}_{i \in I}$ de los espacios indexado por un espacio topológico $I$. Creo que un haz de fibras, o más generalmente un fibration, de hecho es el camino a seguir: dado un fibration $p : \mathbf{X} \to I$, indican que las fibras como $X_i = p^{-1}(i)$, entonces usted puede en cierto sentido, a la vista de la $X_i$ como un continuo de la familia de los espacios de más de $I$. Con un haz de fibras, si $i$ $j$ se encuentran en la misma componente conectado de $I$, $X_i$ $X_j$ será homeomórficos, mientras que para un fibration que sólo se homotopy equivalente.

Ahora un elemento de la continua "producto" $\prod_{i \in I} X_i$ se puede definir una sección $s : I \to \mathbf{X}$ $p$ (es decir, un mapa continuo s.t. $p \circ s = \operatorname{id}_I$). Esto le da un elemento $s(i) \in X_i$ por cada $i \in I$ que varía continuamente con $I$. El espacio de las secciones más formalmente dada por $$\Gamma(p) = \{ s \in X^I \mid p \circ s = \operatorname{id}_I \} \subset X^I,$$ topologized como un subespacio de $X^I$ (que en sí es dotado con la compacta abierta de la topología).

• Al $I$ es discreto, un fibration $p : \mathbf{X} \to I$ es exactamente la misma cosa que una colección de espacios de $\{X_i\}_{i \in I}$ (sin condiciones de la vinculación de ningún tipo, $p(x \in X_i) = i$), y $\Gamma(p) \cong \prod_{i \in I} X_i$ con el producto de la topología.
• Al $p : I \times X \to I$ es un trivial fibration ($X_i = X \; \forall i$), una sección de $p$ es la misma cosa como un mapa de $f : I \to X$ (la sección es $s(i) = (i, f(i))$), y $\Gamma(p) \cong C(I,X)$ con el compacto-abierta de la topología.