Tu idea está bien.
No hay que olvidar que un elemento típico de $\oplus_i {\rm Hom}(N,M_i)$ parece $$ f_{i_1} + \dots + f_{i_n}$$ with $f_{i_1} \in {\rm Hom}(N, M_{i_1}), \dots, f_{i_n} \in {\rm Hom}(N, M_{i_n})$, dicen. Fundamentalmente, esta suma debe ser finito.
Como usted dice, el mapa de $\varphi : \oplus_i {\rm Hom}(N, M_i) \to {\rm Hom}(N, \oplus_i M_i)$ está definido por
$$ \varphi(f_{i_1} + \dots + f_{i_n}) = \iota_{i_1} \circ f_{i_1} + \dots +\iota_{i_n} \circ f_{i_n} . $$
Esta $\varphi$ no es necesariamente surjective. Para entender por qué, se observa que para cada $f \in \varphi(\oplus_i {\rm Hom}(N, M_i))$, hay un finito colección de $M_i$'s tal que $f$ mapas de todos los elementos de a $N$ en la suma directa de estos $M_i$'s. (Por ejemplo, $\varphi(f_{i_1} + \dots + f_{i_n})$ mapas de todos los elementos de a $N$ a $M_{i_1} \oplus \dots \oplus M_{i_n}$.)
Un general homomorphism en ${\rm Hom}(N, \oplus_i M_i)$ es diferente. Sí, se asigna a cada elemento de a $N$ en una suma directa de un número finito de $M_i$'s. Pero estos $M_i$'s podría ser elegido de manera diferente para diferentes elementos de $N$.
Sin embargo, si $N$ es finitely generado, entonces, $\varphi$ es surjective. En efecto, supongamos $\{e_1, \dots, e_k \}$ es un conjunto de generadores para $N$ y supongamos que tenemos un homomorphism $f \in {\rm Hom}(N, \oplus_i M_i)$ que envía
$$ e_1 \mapsto m_{(1,1)} + \dots + m_{(1,n_1)} \ \ \ , \ \ \ \dots\ \ \ , \ \ \ e_k \mapsto m_{(k,1)} + \dots + m_{(k,n_k)}$$
donde cada una de las $m_{(j,l)} $$M_{i_{(j,l)}}$.
A continuación, $$f = \varphi \left(\sum_{j = 1}^k \sum_{l=1}^{n_j} f_{(j,l)} \right),$$
donde$f_{(j,l)}$${\rm Hom}(N, M_{i_{(j,l)}})$, y envía
$$ \sum_{J=1}^k r_{J} e_{J} \mapsto r_j m_{(j,l)}. $$
Por supuesto, $\sum_{j = 1}^k \sum_{l=1}^{n_j} f_{(j,l)}$ es una suma finita, que es la razón por la que esto funciona.
