Los teoremas de completitud y compacidad de la lógica de primer orden son muy conocidos por ser equivalente a la lema del ultrafilter. ¿Hay cualquier teoremas de lógica que son igualmente equivalentes al completo axioma de elección? Una pregunta un poco menor: ¿el lema del ultrafilter es suficiente para la lógica de intuitionist, que (según tengo entendido) tiene un conjunto infinito de valores de verdad?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
DanV
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Totalmente no puedo responder a esto, porque no sé lo suficiente acerca de intuitionistic lógica. Voy a señalar a esta pregunta y sus vínculos.
Pero puedo responder a la otra parte acerca de los equivalentes al axioma de elección:
Esto fue demostrado por P. Howard que $\sf BPI+LT$ (Łoś Teorema) implica el axioma de elección.
En el Rubin & Rubin, Equivalentes al Axioma de Elección II en particular, hay tres formas relacionadas con la lógica de primer orden que son equivalentes al axioma de elección:
Si $\varphi$ es una fórmula que tiene un modelo de cardinalidad $\kappa$, entonces tiene un modelo de cardinalidad $\mu$ por cada $\aleph_0\leq\mu\leq\kappa$.
Si $\varphi$ es una fórmula que, como modelo de cardinalidad $\aleph_0$, entonces tiene un modelo de cardinalidad $\kappa$ por cada $\kappa\geq\aleph_0$.
Si $Q$ es un conjunto de fórmulas en un lenguaje de cardinalidad $\kappa$, y cada subconjunto finito de $Q$ tiene un modelo, entonces $Q$ tiene un modelo cuya cardinalidad es en la mayoría de las $\kappa+\aleph_0$.
Usted puede reconocer a estas afirmaciones, ya que la tendencia a la baja Löwenheim-Skolem, y el alza de Löwenheim-Skolem teoremas.
Todos estos (incluyendo Howard prueba) aparecen en el libro, en las primeras páginas del capítulo 8.
Otro equivalente:
Dado un conjunto de $S$ de sentencias de lógica de primer orden y un subconjunto $B$ $S$ tal que $B$ es consistente, hay un subconjunto consistente $A$ $S$ tal que $A$ es máxima entre los subconjuntos coherentes de $S$ y que $B\subseteq A.$
Resultar debido a Klimovsky (iirc). Ver Rubin & Rubin teorema 8.4.
