Constructibilidad de conjuntos definidos únicamente en ZFC.

Question

Estaba pensando acerca de la edificable universo, y yo tenía la idea siguiente.

Supongamos que tenemos un predicado $\phi$ definido en un lenguaje de teoría de conjuntos. Supongamos además, que la declaración "no existe $X$ tal que $\phi(X)$; y para cualquier $X, Y$ si $\phi(X)$$\phi(Y)$, $X=Y$" es demostrable en ZFC (esencialmente, que la fórmula $\phi$ determina un único conjunto). Luego que establezca $X$ debe pertenecer a algún nivel de $L_\alpha$ de la edificable jerarquía.

El argumento es el siguiente: dado que la existencia y la unicidad es demostrable en ZFC, debe ser cierto en el edificable universo, que es un modelo de ZFC. Pero desde edificable universo es un interior modelo de ZFC, ese elemento en particular de la edificable universo que sirve como un testimonio de la verdad de la fórmula en el universo construible modelo de ZFC también debe ser el único $X$ en el "todo" de ZFC$-$no podemos tener una diferente, ya que existe un conjunto que satisface $X$ en el edificable jerarquía.

Es este argumento el sonido? Se siente sólido y completamente obvio para mí, y vacía al mismo tiempo.

Answer 1

El argumento es claramente errónea. $\mathcal P(\omega)$ es definible sin parámetros, y, sin embargo, no es necesariamente edificable, como se muestra por Cohen.

La cosa a recordar es que la fórmula $\phi$ no es absoluta entre los modelos. Por lo $\mathcal P(\omega)$ $\mathcal P(\omega)^L$ podría ser diferente.

En algunos casos, existen conjuntos cuya definición es muy robusta y única, pero no puede ni siquiera existir en $L$. Un ejemplo de este tipo es $0^\#$, que tiene un parámetro de definición libre, y puede ser representado como un bastante canónica conjunto de números enteros. Pero, sin embargo, este conjunto no puede existir en $L$. Otros ejemplos podrían ser reales, ya que puede código en el continuum patrón por debajo de $\aleph_\omega$ (por ejemplo), e incluso mucho más que eso.