pregunta sobre la función armónica

Question

Dejemos que $u$ y $v$ sean funciones armónicas de valor real sobre $U=\{z:|z|<1\}$ . Dejemos que $A=\{z\in U:u(z)=v(z)\}$ . Supongamos que $A$ contiene un conjunto abierto no vacío. Demostrar que $A=U$ .

Esto es lo que tengo hasta ahora: Dejemos que $h=u-v$ . Entonces $h$ es armónico. Sea $X$ sea el conjunto de todos los $z$ tal que $h(z)=0$ en algún barrio abierto de $z$ . Por nuestras suposiciones sobre $A$ , $X$ no está vacío. Sea $z\in X$ . Entonces $h(z)=0$ en algún conjunto abierto $V$ que contiene $z$ . Si $x\in V$ entonces $h(w)=0$ en algún conjunto abierto que contenga $x$ , a saber $V$ . Así que $X$ está abierto.

Quiero mostrar $X$ también está cerrado pero tengo problemas para hacerlo. Alguna sugerencia:

Answer 1

Cada función armónica real $h$ en un dominio simplemente conectado define única hasta la función holomorfa constante $f\in\mathcal{O}(U)$ tal que $$ \mathrm{Im}(f)=h $$ $$ \mathrm{Re}(f)= \int\limits_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}\left(\frac{\partial h}{\partial y}dx-\frac{\partial h}{\partial x}dy\right)+C $$

Si $h=0$ en algún balón $B\subset A$ , entonces la función respectiva $f=C$ en $B$ . Desde $A$ es abierto, por el principio de unicidad $f=C$ en $U$ . Por lo tanto, $h=\mathrm{Im}(f)=0$ en $U$ .

Answer 2

Las funciones armónicas son continuas y cerradas bajo adición y multiplicación escalar. Por lo tanto, $u-v$ es armónico (y continuo), por lo que $\{z\in\mathbb{C}:u(z)=v(z)\}$ está cerrado.