La función de Green de la ecuación de desviación del rayo

Question

Este es un problema en un libro de texto usado en mi clase:

Supongamos que tenemos un rayo elástico infinito, donde la desviación $u(x)$ satisface la ecuación diferencial $$ \frac {d^4 u}{dx^4}+k^4 u = > f(x),$$ donde $k^4$ es una constante positiva considerada como conocida, y $f(x)$ es una carga.

Para la parte (a) de la pregunta, asumimos que la carga es una unidad carga concentrada en $x = \xi $ para que satisfaga nuestra ecuación $$ \frac {d^4 u}{dx^4}+k^4 u = \delta (x - \xi ),$$ donde $ \delta $ es el Ecuación Dirac-delta.

Así que, para este problema me gustaría encontrar la desviación (que es igual a la función del espacio libre de Green). He buscado en varios libros de texto de mecánica para encontrar un enfoque detallado de cómo calcular esto, pero sólo encontré soluciones para diferentes problemas.

Answer 1

Finalmente encontré una forma de hacerlo usando la transformación de Fourier, pero un amigo mío lo hizo sólo usando cálculos (mucho más tedioso).

Desde la desviación $u(x)$ satisface la ecuación diferencial anterior, la función de Green satisface \begin {ecuación} \frac { \partial ^4 g}{ \partial x^4}+ \alpha ^4 g = \delta (x - \xi ), \end {ecuación} y asumiendo que $g = \frac { \partial g}{ \partial x} = \frac { \partial ^2 g}{ \partial x^2} = \frac { \partial g^3}{ \partial x^3} = 0$ en $|x| = \infty $ tenemos la solución $$u(x) = \int_ {- \infty }^{ \infty }g(x, \xi )f( \xi )d \xi. $$

A continuación, define las transformaciones de Fourier $$ \hat {u}(k) = \int_ {- \infty }^{ \infty }u( \xi ) e^{ik \xi }d \xi ; \; u( \xi ) = \frac {1}{2 \pi } \int_ {- \infty }^{ \infty }e^{-ik \xi } \hat {u}(k)dk$$ y $$ \hat {u'} = \int_ {- \infty }^{ \infty }u'( \xi )e^{ik \xi }d \xi = u( \xi )e^{ik \xi }|_{- \infty }^{ \infty } - ik \int_ {- \infty }^{ \infty }u( \xi )e^{ik \xi }d \xi = (-ik) \hat {u}(k).$$

Aplicando la transformación de Fourier a nuestra solución, obtenemos $(k^4+ \alpha ^4) \hat {g} = e^{ik \xi },$ así que \begin {ecuación*} \hat {g} = \frac {e^{{ik \xi }}{k^4 + \alpha ^4}. \end {ecuación*} Usando la fórmula de inversión de Fourier, obtenemos \begin {alinear} g(x), \xi )&= \frac {1}{2 \pi } \int_ {- \infty }^{ \infty } \frac {e^{ikx}e^{ik \xi }}{k^4 + \alpha ^4}dk \\ & = \frac {1}{ \pi } \int_0 ^ \infty \frac { \cos k(x-) \xi )}{k^4+ \alpha ^4}dk \\ &= \frac {e^{- \alpha |x- \xi |/ \sqrt {2}}}{2 \alpha ^3} \sin\left ( \frac { \alpha |x- \xi |}{ \sqrt {2}}+ \frac { \pi }{4} \right ). \end {alinear}