En cálculo diferencial, ¿por qué se escribe dy/dx como d/dx ( y)?

Question

En cálculo diferencial, sabemos que dy/dx es la razón entre el cambio en y y el cambio en x. En otras palabras, la tasa de cambio en y con respecto a x.

Entonces, ¿por qué se escribe dy/dx como d/dx (y)?

Es decir, ¿por qué y cómo se considera d/dx como un operador?

Answer 1

Es productivo considerar $D = \frac{d}{dx}$ como un operador lineal, digamos, del espacio de funciones suaves en $\mathbb{R}$ a sí mismo, por varias razones. La razón más sencilla que se me ocurre es que hace que la teoría de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas sea muy simple. Porque una ecuación diferencial lineal homogénea no es más que un intento de encontrar un núcleo nulo del operador $p(D)$ donde $p$ es algún polinomio.

Para hacer esto, necesitamos encontrar el espectro de $D$. No es difícil ver que hay un único vector propio con valor propio $\lambda$ dado por $e^{\lambda x}$, y a partir de aquí se sigue que el núcleo de $p(D)$ al menos contiene (y, si $p$ tiene raíces distintas, está enteramente hecho de) las funciones $e^{\lambda x}$ donde $p(\lambda) = 0.

Dicho de otra manera, si $p(x) = \prod_{i=1}^n (x - \lambda_i)$ entonces podemos factorizar el operador $p(D)$ como $\prod_{i=1}^n (D - \lambda_i)$, y no es difícil ver que $f$ está en el núcleo de este operador siempre que $(D - \lambda_i) f = 0$, o $f(x) = e^{\lambda_i x}$ (hasta condiciones iniciales). De hecho, obtenemos una solución $f$ siempre que $(D - \lambda_i)^{e_i} f = 0$ donde $e_i$ es la multiplicidad de $\lambda_i$, y estudiar esta condición nos lleva rápidamente al conjunto completo de soluciones.

En otras palabras, pensar en $D$ como un operador por derecho propio básicamente reduce el estudio de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas al álgebra lineal (salvo algunos argumentos de existencia y unicidad), específicamente el estudio de la descomposición de Jordan.

Por supuesto, se puede ir mucho, mucho más lejos con esta idea: por ejemplo podemos factorizar operadores diferenciales en más de una variable de la misma manera. El Laplaciano $D_x^2 + D_y^2$ donde $D_x$ es la derivada con respecto a $x$ y $D_y$ la derivada con respecto a $y$ se factoriza como $\left( D_x + D_y i \right) \left( D_x - D_y i \right)$ y esto da inmediatamente la conexión entre funciones armónicas y funciones holomorfas a través de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Y la ecuación de Dirac en la mecánica cuántica se descubrió a través de un proceso de factorización similar, pero con coeficientes matriciales en lugar de simplemente complejos.

Answer 2

De la forma en que lo estás expresando, $x$ e $y$ desempeñan roles similares, y naturalmente surge la pregunta de por qué deberían tratarse de manera diferente, como en $\mbox{d}/\mbox{d}x (y)$. Sin embargo, en cálculo, uno suele considerar funciones de variables, como $f (x)$ o $y (x)$ -- aquí los símbolos para la variable independiente y la función desempeñan roles bastante diferentes, y para poder pensar en la diferenciación de manera más abstracta como una operación aplicada a funciones (y que da lugar a nuevas funciones), es útil "factorizar" la notación de manera que la función quede sola a la derecha y "lo que se está haciendo con ella", el operador, esté separado y se aplique desde la izquierda -- de ahí esta notación.