En cálculo diferencial, ¿por qué se escribe dy/dx como d/dx ( y)?

Question

En cálculo diferencial, sabemos que dy/dx es la razón entre el cambio en y y el cambio en x. En otras palabras, la tasa de cambio en y con respecto a x.

Entonces, ¿por qué se escribe dy/dx como d/dx (y)?

Es decir, ¿por qué y cómo d/dx se considera un operador?

Answer 1

Es productivo considerar $D = \frac{d}{dx}$ como un operador lineal, digamos desde el espacio de funciones suaves en $\mathbb{R}$ hacia sí mismo, por varias razones. La razón más simple que se me ocurre es que hace que la teoría de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas sea muy simple. Porque una ecuación diferencial lineal homogénea no es más que un intento de encontrar un núcleo nulo del operador $p(D)$ donde $p$ es algún polinomio.

Para hacer esto necesitamos encontrar el espectro de $D$. No es difícil ver que hay un eigenvector único con eigenvalor $\lambda$ dado por $e^{\lambda x}$, y a partir de aquí se deduce que el núcleo nulo de $p(D)$ al menos contiene (y, si $p$ tiene raíces distintas, está compuesto enteramente por) las funciones $e^{\lambda x}$ donde $p(\lambda) = 0.

Dicho de otra manera, si $p(x) = \prod_{i=1}^n (x - \lambda_i)$ entonces podemos factorizar el operador $p(D)$ como $\prod_{i=1}^n (D - \lambda_i)$, y no es difícil ver que $f$ está en el núcleo nulo de este operador siempre que $(D - \lambda_i) f = 0$, o bien $f(x) = e^{\lambda_i x}$ (hasta condiciones iniciales). De hecho, obtenemos una solución $f$ siempre que $(D - \lambda_i)^{e_i} f = 0$ donde $e_i$ es la multiplicidad de $\lambda_i$, y estudiar esta condición conduce fácilmente al conjunto completo de soluciones.

En otras palabras, pensar en $D$ como un operador por derecho propio reduce esencialmente el estudio de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas a álgebra lineal (modulo algunos argumentos de existencia y unicidad), específicamente el estudio de la descomposición de Jordan.

Por supuesto, se puede ir mucho, mucho más lejos con esta idea: por ejemplo, podemos factorizar operadores diferenciales en más de una variable de la misma manera. El Laplaciano $D_x^2 + D_y^2$ donde $D_x$ es la derivada con respecto a $x$ y $D_y$ la derivada con respecto a $y$ se factoriza como $\left( D_x + D_y i \right) \left( D_x - D_y i \right)$ y esto da inmediatamente la conexión entre funciones armónicas y funciones holomorfas a través de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Y la ecuación de Dirac en la mecánica cuántica fue descubierta a través de un proceso de factorización similar, pero con coeficientes matriciales en lugar de meramente complejos.

Answer 2

De la forma en que lo estás expresando, $x$ y $y$ juegan roles similares, y surge naturalmente la pregunta de por qué deberían tratarse de manera diferente, como en $\mbox{d}/\mbox{d}x (y)$. Sin embargo, en cálculo, uno generalmente considera funciones de variables, como $f (x)$ o $y (x)$ - aquí los símbolos de la variable independiente y la función juegan roles bastante diferentes, y para poder pensar en la diferenciación de manera más abstracta como una operación aplicada a funciones (y que produce nuevas funciones), es útil "factorizar" la notación para que la función quede sola a la derecha y "lo que se le está haciendo", el operador, sea separado y aplicado desde la izquierda - de ahí esta notación.