Evaluar la integral$\int_0^{3\pi/2} 3\lvert \sin x\rvert \; dx$

Question

Evaluar la integral $$\int_0^{3\pi/2} 3\lvert \sin x\rvert \; dx.$$

Mi trabajo: el integrando es en realidad:

| sinx | = sinx si sinx ≥ 0

| sinx | = - sinx si sinx < 0

por lo tanto:

∫ | sinx | dx = ∫ sinx dx = - cosx + C si sinx ≥ 0

∫ | sinx | dx = ∫ - sinx dx = cosx + C si sinx < 0

por lo tanto, la unión de estos en una sola declaración:

∫ | sinx | dx = (- cosx) (| sinx | / sinx) + C

o, más precisamente,

∫ | sinx | dx = (- cosx) signo(sinx) + C

signo(sinx) significados 1 si sinx > 0 y - 1 si sinx < 0

es eso correcto ???

Answer 1

Esto es más complicado de lo que tiene que ser.

En el intervalo de $[0,3\pi/2]$ sostiene que $\sin x$ es no negativa para $x\in[0,\pi]$ y negativo para $x\in(\pi,3\pi/2]$. Por lo tanto, la división de la integral en $x=\pi$, $$\int_0^{3\pi/2}3|\sen x|\,dx=\int_0^\pi 3\sin x+\int_\pi^{3\pi/2}3(-\sin x)\,dx.$$ Se puede tomar desde aquí?

Editar Para simplificar los cálculos, también se puede observar la simetría de la función seno en los intervalos $[0,\pi/2]$, $[\pi/2,\pi]$ y $[\pi,3\pi/2]$, y por lo tanto el uso que $$\int_0^{3\pi/2}3|\sen x|\,dx=3\int_0^{\pi/2}3\sin x\,dx.$$

Answer 2

La integral que estás calculando es una integral definida y no indefinida. Por lo tanto, es mejor si simplemente lo calcula como

PS

Answer 3

De hecho, puedes abordarlo geométricamente.

Tenemos $$\ int_ {x = 0} ^ {3 \ pi / 2} 3 | \ sin x | = 3 \ int_ {x = 0} ^ {\ pi} \ sin x + 3 \ int_ {x = 0} ^ {\ pi / 2} \ sin x = -3 \ int_ {x = 0} ^ {\ pi } D \ cos x - 3 \ int_ {x = 0} ^ {\ pi / 2} D \ cos x = 9$$ por el teorema fundamental del cálculo.

Answer 4

Aviso, dividiendo el límite $$\int{0}^{3\pi/2}3|\sin x|dx=3\int{0}^{3\pi/2}|\sin x|dx=3\left(\int{0}^{\pi}|\sin x|dx+\int{\pi}^{3\pi/2}|\sin x|dx\right) $$=3\left(\int{0}^{\pi}\sin x dx+\int{\pi}^{3\pi/2}(-\sin x )dx\right) $$=3\left([-\cos x]{0}^{\pi}+[\cos x]{\pi}^{3\pi/2}\right) $$=3\left([1+1]+[0+1]\right)$$ $$= 3 = \color {rojo} {9}$$