Comprobación de si un polinomio de alto grado es biyectivo o no.

Question

Dejemos que $P(x)$ sea un polinomio de grado $101$ . Entonces $x\mapsto P(x)$ no puede ser un mapeo onto uno, es decir, una función biyectiva desde $\Bbb{R}$ a $\Bbb{R}$ . ¿Verdadero o falso?

Creo que es cuando tomamos $P(x)=P(y)$ , obtenemos : $$ ax^{101}+bx^{100}+\ldots+cx+d = ay^{101}+by^{100}+\ldots+cy+d $$ o $$ a\left(x^{101} - y^{101}\right)+b\left(x^{100} - y^{100}\right)+\ldots+c(x-y) = 0 $$ o $$ (x-y)\cdot(\textrm{some equation in }x,y) = 0. $$ Por lo tanto, obtenemos $x=y$ o alguna otra expresión que no sea $x=y$ .

Como resultado, $P(x)$ no puede ser uno-uno ya que de haber sido así, sólo habríamos obtenido $x=y$ como la solución a $P(x)=P(y)$ .

Por favor, ¿puede decirme si lo estoy haciendo bien? Si no es así, ¿cuál es el error que estoy cometiendo?

Para comprobar si $P(x)$ es en, tenemos que escribir $y=P(x)$ y luego encontrar la expresión en términos de $x$ y ver si el rango es igual al codominio. Pero no soy capaz de visualizar cómo comprobar la subjetividad de la función. ¿Puede alguien ayudarme a comprobar si $P(x)$ ¿está en marcha o no? Estoy un poco confundido aquí. Gracias por toda la ayuda.

Answer 1

Un polinomio $P:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es biyectiva si y sólo si $P'(x)$ nunca cambia de signo.

En un lenguaje menos matemático, necesitamos que el polinomio siempre suba, o siempre baje, y sólo se permite que se nivele momentáneamente.

Teniendo esto en cuenta, es bastante fácil escribir un polinomio de grado impar que sea biyectivo: sólo permite coeficientes positivos y términos de grado impar. Por ejemplo, consideremos $P(x)=x^{101}+3x^{35}+4x$ . Verás que su derivada es siempre positiva.

No es cierto que todos los polinomios biyectivos tengan la forma anterior, ya que también se puede comprobar que $P(x)=x^{101}-x^2+10x$ también tiene una derivada positiva en todas partes.

Answer 2

$P(x) = x^{101}$ es un polinomio biyectivo de grado $101$ . $Q(x) = x^{101}-x^2$ es de grado $101$ también, pero no es inyectiva. Así que, a menos que haya algo más, un polinomio arbitrario de grado 101 puede ser biyectivo, pero no todos lo son.

Answer 3

Aunque (como demostró Javier) no todos los polinomios de grado impar son inyectivos, todos son surjective . Diga $p(x) = a_n x^n + \ldots + a_0$ , donde $n$ es impar. Entonces, si $a_n > 0$ Tendremos $\lim_{x\to+\infty} p(x) = +\infty$ y $\lim_{x\to-\infty} p(x) = -\infty$ . Como los polinomios son continuos, tenemos que haber dado con todo lo que hay en medio en algún momento, así que $p(x)$ es suryente (si $a_n < 0$ entonces $\lim_{x\to+\infty} p(x) = -\infty$ y $\lim_{x\to-\infty} p(x) = +\infty$ ). Esto sucede porque como $\left|x\right|$ se hace grande, el término de mayor grado comienza a contribuir cada vez más en comparación con los otros términos, por lo que finalmente los abruma y el polinomio simplemente tomará el signo de $a_n x^n$ .

Answer 4

Una versión general de este problema se abordó en esta pregunta en MO. Podemos plantear la cuestión de la siguiente manera:

Supongamos que $p$ es un polinomio de grado $101$ y coeficientes reales. ¿Qué condiciones deben $p$ satisfacer para garantizar que $p$ es biyectiva?

Como Stahl indica en su respuesta, cualquier polinomio de grado impar es suryente (utilizando la propiedad del valor intermedio). La cuestión es entonces si el polinomio es inyectivo.

Si $a<b$ y $p(a)=p(b)$ , entonces por Teorema de Rolle Hay un punto en el que $c$ en el medio, $a<c<b$ , de tal manera que $p'(c)=0$ . Por lo tanto, para que $p$ sea inyectiva, necesitamos que $p'$ nunca es cero, es decir, tenemos que entender cuando es el caso de que un polinomio $q$ de grado $100$ y coeficientes reales (en este caso, $q=p'$ ) no tiene ningún arraigo real. Esta es precisamente la pregunta formulada en MO. La respuesta seleccionada en realidad dice más: Te da un algoritmo para identificar con precisión cuántas raíces reales tendrá un polinomio, sin tener que calcularlas.

Los detalles están en el enlace dado y las referencias allí. Brevemente: Usted se asocia a $q$ una matriz simétrica $H$ , llamado su Forma Hermite . El número de raíces reales de $q$ es la diferencia entre el número de valores propios positivos y negativos de $H$ (el firma de $H$ ). Para encontrar este número, se calcula el polinomio característico $c$ de $H$ porque los valores propios de $H$ son las raíces de $c$ y le aplica La regla de los signos de Descartes que nos indica precisamente el número de raíces positivas y negativas de $c$ .

Answer 5

La semana pasada apareció una funcionalidad en WolframAlpha que permite preguntar si una función es biyectiva, inyectiva o sobreyectiva. Podemos aplicar esto a tu ejemplo biyectivo así:
"es p(x) = x^101 biyectiva" .

O, "es x^101 - x^3 biyectiva" que también tiene un gráfico más bonito.

No es sorprendente que esto funcione bastante bien para los polinomios o incluso para las funciones algebraicas. Sin embargo, es posible encontrar funciones transcendentales que lo dejen en evidencia.