Propiedades de funciones inversas

Question

En orden para una cierta prueba a trabajar, necesito una función y su inversa para satisfacer la siguiente propiedad: Si $f(x) \ge k$, entonces el $x \le f^{-1}(k)$. ¿Hay un término más general para esto? Para dar cierta perspectiva, estoy usando $f$ a distancia a semejanza. Por ejemplo, $1/(1+x)$ es una de las funciones que estoy usando para este propósito. Efectivamente la idea es que si la similitud es superior a cierto umbral, entonces la distancia también es inferior al umbral mismo, convertido de nuevo en la distancia.

Answer 1

Supongamos $f$ es monótonamente decreciente. Tomar algunas $x,y$, de modo que $f(x) > f(y)$ (usted puede llamar a $f(y) = k$$y = f^{-1}(k)$). Entonces necesariamente tenemos $x < y$. Esto demuestra que $f$ monótonamente decreciente es suficiente para que la propiedad que usted desea.

Si $f$ es invertible, pero no disminuye, entonces hay algo de $x,y$, de modo que $f(x) > f(y)$ pero $x > y$. Esto demuestra que $f$ siendo la disminución es una condición necesaria.

Tenga en cuenta también que $f$ es invertible, por supuesto, así que no podemos tener $x \neq y$$f(x) = f(y)$. Por lo que su condición es equivalente a $f$ monótonamente decreciente. $\diamondsuit$