Relación entre Cauchy ' fórmula Integral de s y núcleo de Poisson

Question

Si tenemos una función de $\tilde{f}\in L^p(T)$ sobre el círculo unidad $T$ $p \geq 1$ podemos recuperar una función armónica $f$ en la unidad de disco utilizando la distribución de Poisson kernel $P_r$:

$$f\left(re^{i\theta}\right)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} P_r(\theta\phi) \tilde f\left(e^{i\phi}\right) \,\mathrm{d}\phi, \quad r < 1$$

Se ve algo similar a la de Cauchy de la Integral de la fórmula. Este último establece que un holomorphic función definida en un disco está completamente determinada por sus valores en el límite $\gamma$ del disco.

$$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\cualquier _{\gamma }{\frac {f(z)}{z}}\,dz$$

Preguntas:

1) ¿Podría por favor explicar la lógica detrás de la transformación integral con el núcleo de Poisson? ¿Por qué el núcleo tiene la forma $P_{r}(\theta )=\operatorname {Re} \left({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i\theta }}}\right),\ 0\leq r<1$ ?

2) ¿Cuál es la diferencia entre la transformación integral con el núcleo de Poisson y la de Cauchy de la integral de la fórmula?

Gracias por su ayuda de antemano.

Answer 1

La costumbre de Cauchy kernel es un miembro de una familia más amplia: podemos añadir un arbitrario holomorphic función. Si $h$ es holomorphic en el disco cerrado, a continuación, $$f(a) = \frac1{2\pi i}\oint_{|z|=1} f(z) \left(\frac1{z}+h(z)\right) \mathrm{d}z = \frac1{2\pi}\oint_{|z|=1} f(z) \left(\frac1{1-\bar{z}}+zh(z)\right) \frac{\mathrm{d}z}{iz}.$$ $$= \frac1{2\pi}\oint_{|z|=1} f(z) \left(1+\frac{a\bar{z}}{1-\bar{z}}+zh(z)\right) \frac{\mathrm{d}z}{iz}.$$

Desde este punto podemos buscar una función de $zh(z)$ (que debe tener una raíz en $0$) de tal manera que el núcleo modificado $1+\frac{a\bar{z}}{1-a\bar{z}}+zh(z)$ es real a lo largo del círculo unidad. (Observe que $\frac{\mathrm{d}z}{iz} = \mathrm{d}(\arg z)$ es real.) Esto se puede hacer mediante la elección de $$zh(z) = \overline{\left(\frac{a\bar{z}}{1-\bar{z}}\right)} = \frac{\bar{un}z}{1-\bar{un}z},$$ así $$h(z) = \frac{\bar{a}}{1-\bar{un}z},$$ que es holomorphic en el disco $|z|<\frac1{|a|}$.

Por lo tanto, el núcleo modificado es $$1+\frac{a\bar{z}}{1-\bar{z}} + \overline{\left(\frac{a\bar{z}}{1-\bar{z}}\right)} = \mathrm{Re}\left(1+2\frac{a\bar{z}}{1-\bar{z}}\right) = \mathrm{Re}\left(\frac{1+\bar{un}z}{1-\bar{un}z}\right).$$

Por lo tanto, la diferencia entre el Cauchy y la Poission núcleos es un holomorphic función. :-)