Se nos pide invertir la siguiente matriz con la ayuda de preguntas guiadas. $$\begin{pmatrix} 1 + a_1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1+a_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \cdots & 1 & 1 + a_n \end{pmatrix}$$
Para hacer eso, el problema que se planteó el siguiente determinante :
Deje $(r_1,r_2,\cdots,r_n)$ ser distintos de los números reales y $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ $$\Delta(x) = \begin{vmatrix} r_1 + x & a+x & \cdots & a+x \\ b+x & r_2+x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & a+x \\ b+x & \cdots & b+x & r_n + x \end{vmatrix}$$
A continuación, se pide demostrar que existe dos números reales a y B tales que para todos los números reales $x$ $$\Delta(x) = Ax + B$$
He hecho una reducción de la fila en la matriz de una simplificación.
Para$i$, al pasar de $n-1$ a $1$ $L_{i+1} \leftarrow L_{i+1} - L_i$
$$\Delta(x) = \begin{vmatrix} r_1 + x & a+x & \cdots & a+x \\ b-r_1 & r_2-a & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & b- r_n & r_n-a\end{vmatrix}$$
Luego he desarrollado con respecto a la primera fila. Deje $\Delta_{i,j}$ ser el menor de $\Delta$ $$\Delta(x) = (r_1 + x)\Delta_{1,1} + (a+x)\sum\limits_{j=2}^n (-1)^{1+j}\Delta_{1,j} $$ Rearranging the forula gives A and B independent of $x$ which proves their existence : $$\Delta(x) = x[\Delta_{1,1} + \sum\limits_{j=2}^n (-1)^{1+j}\Delta_{1,j}] + r_1\Delta_{1,1} + a\sum\limits_{j=2}^n (-1)^{1+j}\Delta_{1,j} $$
El verdadero problema que estoy enfrentando es la siguiente pregunta: Dada la polynome $P(X) = \prod\limits_{k=1}^n(r_k-X)$, y suponiendo $a \neq b$ tenemos que demostrar que el $$\Delta(0) = \frac{aP(b)-bP(a)}{a-b}$$ El uso de la primera pregunta me di cuenta de $\Delta(0) = B$ y simplificado $$ B = r_1\Delta_{1,1} + \sum\limits_{j=2}^n (-1)^{1+j}\Delta_{1,j} \\ \Delta_{1,1} = \prod\limits_{i=2}^n (r_k-a) $$ Since $\Delta_{1,1}$ es un inferiour triangular de la matriz, a continuación, de forma similar : $$\Delta_{1,n} = \prod\limits_{i=1}^{n-1} (b-r_k) $$ Para otros menores de edad me di cuenta de que podemos dividir en diagonal inferiour y superior triangular de bloques de $$ \Delta_{i,j}= \left| \begin{array}{c|c} B' & O \\ \hline O & A' \end{array} \right| $$ y por lo tanto $\forall j\in \{2,\cdots,n-1\} $ $$\Delta_{1,j} = \prod\limits_{i=2}^{j-1} (b-r_k)\prod\limits_{i=j+1}^{n} (r_k-a)$$ Así que terminé con este $$\Delta(0) = B = r_1\prod\limits_{i=2}^n (r_k-a) + a\left(\sum\limits_{j=2}^{n-1} (-1)^{1+j}\prod\limits_{i=2}^{j-1} (b-r_k)\prod\limits_{i=j+1}^{n} (r_k-a)\right) + \\ a\times(-1)^{1+n}\times\prod\limits_{i=1}^{n-1} (b-r_k) $$ I feel like i am close to getting $P(b)$ and $P(a)$ desde el primer y último términos, pero me parece que no puede ver, ¿cómo?
Lo siento por los errores de antemano, soy nuevo por aquí.
