¿Qué tan bajo puede ser el grado de la aprobación de un candidato de mayoría?

Question

"Ostrogorski paradoja del" describe una situación extraña en la que los votantes decidir sobre los candidatos basado en problemas en las plataformas, pero en cada edición de la plataforma, la mayoría de los votantes no aprueban de la mayoría ganador.

¿Cuál es el menor índice de aprobación por una mayoría ganador?

Ejemplo

Por ejemplo, si hay 3 temas, a continuación, los votantes pueden dividir en cuatro campos: un campo de "todos los temas son importantes", y tres campos de "sólo esta cuestión es importante, los demás en detrimento de ella." Un ejemplo de encuesta puede revelar:

$$\begin{array}{r|rrr}\newcommand{\t}[1]{\text{#1}} & \t{Size} & \t{Issue 1} & \t{Issue 2} & \t{Issue 3} \\ \hline \t{Camp 0} & 40\% & \t{Yes} & \t{Yes} & \t{Yes} \\ \t{Camp 1} & 20\% & \t{Yes} & \t{No} & \t{No} \\ \t{Camp 2} & 20\% & \t{No} & \t{Yes} & \t{No} \\ \t{Camp 3} & 20\% & \t{No} & \t{No} & \t{Yes} \\ \hline \t{Favored}& & 60\%\t{ Yes}& 60\%\t{ Yes}& 60\%\t{ Yes} \end{array}$$

El candidato a se ve en las urnas y ve que $60\%$ de las personas de apoyo de cada tema, y por eso decide su plataforma es apoyar a las tres cuestiones. Candidato B es contrario y decide su plataforma es el rechazo de las tres cuestiones. Los votantes en el campamento de 0 votar por Una, obviamente. Los votantes en el campo 1 ver que el candidato B está de acuerdo con ellos en 2 de las 3 ediciones, y así votar por B. de manera Similar campos 2 y 3 de votar por B.

Candidato B gana a $60\%$ $40\%$un enorme margen de la victoria! Sin embargo, una vez en el cargo, las encuestas revelan que sólo el $40\%$ de los votantes a aprobar de su manejo de la cuestión 1. Del mismo modo para el problema 2 y 3. A nadie le gusta que la mayoría de candidatos!

Problema Formal

Deje $I$ ser un conjunto finito (de los problemas), y $\mathcal{S}=\wp(I)$ ser el conjunto de todos los subconjuntos de cuestiones, de modo que cada una de las $S \in \mathcal{S}$ representa a las cuestiones que son compatibles. Un votante de perfil es una función de $\mu$ $\mathcal{S}$ para el intervalo cerrado $[0,1]$ tal que $\sum_{S \in \mathcal{S}} \mu(S) = 1$. Una elección es un subconjunto $C=\{C_1,C_2\}$ $\mathcal{S}$ de tamaño 2 (los dos candidatos), junto con un perfil de votante. El resultado $O(C_1,C_2,\mu)$ de una elección es $$O(C_1,C_2,\mu) = \sum \left\{ \mu(S) : S \in \mathcal{S} ~\mid~ \left|S \oplus C_1 \right| \leq \left|S \oplus C_2\right| \right\}$$ donde $S \oplus C_j$ es la diferencia simétrica de a$S$$C_j$, es decir, el conjunto de elementos donde $S$ $C_j$ difieren. El índice de aprobación de los candidatos a $C_j$ tema $i$ $$A(C_j, i, \mu) = \sum \left\{ \mu(S) : i \notin S \oplus C_j \right\}$$ y el máximo índice de aprobación de los candidatos a $C_j$ es: $$A(C_j, \mu) = \max\left\{ A(C_j,i,\mu) : i \in I \right\}$$

¿Cuál es el infimum de la máxima calificación de aprobación del $A(C_1,\mu)$ que $O(C_1,C_2,\mu)\geq \tfrac12$?

Resultado parcial

Deje $|I|=2n+1$ ser grandes y en $\mu(I)=0.5$, $\mu(S) = \frac{1}{2 \binom{2n+1}{n}}$ si $|S|=n$, e $\mu(S) = 0$ lo contrario; de manera que la mitad de los votantes de apoyo de cada asunto, y la mitad de soporte justo por debajo de la mitad de los temas. Deje $C_1 = \{\}$ apoyo a la nada, y $C_2 = I$ apoyo de todo. A continuación, $O(C_1,C_2,\mu) = 0.5$ pero $A(C_1,i,\mu)$ es la suma de alrededor de la mitad de la $S$ del tamaño de la $n$: $$A(C_1,i,\mu) = \sum\left\{ \mu(S) : i \notin S, S \in \mathcal{S} \right\} = \frac{1}{2 \binom{2n+1}{n}} \cdot \binom{2n}{n} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2n+2}{2n+1} \to \frac14$$

Esto es tan malo como yo podría hacer. Es tan malo como sea posible?

Answer 1

Dado cualquier $I$, $\mu$ y $C$$O(C_1,C_2,\mu)\ge\frac12$, podemos modificar como sigue sin cambiar la máxima calificación de aprobación. En primer lugar, para todas las cuestiones $i$$A(C_1,i,\mu)\lt A(C_1,\mu)$, podemos dejar que los votantes cambiar de opinión sobre esta cuestión en favor de las $C_1$ hasta $A(C_1,i,\mu)=A(C_1,\mu)$. Esto no cambie $A(C_1,\mu)$, y se puede reducir la mayoría de $C_1$. A continuación se pueden quitar todos los temas sobre los cuales los candidatos se comprometen a partir de la cuestión conjunto; estos problemas no afectan a la mayoría, y desde $C_1$ ahora tiene el mismo índice de aprobación para todos los problemas, que además no afecta a la máxima calificación de aprobación. (Esto es sólo por conveniencia), podemos cambiar todos los temas en los que los $C_1$ está a favor (mediante la negación de la pregunta en la boleta electoral) sin ningún cambio sustancial. Así que ahora tenemos $C_1$ contra todos los problemas, $C_2$ a favor de todos los temas, y $C_1$ con el mismo índice de aprobación para todos los problemas, y el máximo nivel de popularidad no ha cambiado y la mayoría no ha disminuido. Desde por lo menos la mitad de los votantes deben estar de acuerdo con $C_1$ en al menos la mitad de los temas es claro que el máximo índice de aprobación no puede ser inferior a $\frac14$.