Generalizar a otra base que la función trigonométrica de Fourier

Question

La transformada de Fourier de la función periódica $f$ se obtiene un $l^2$-serie de las funciones de los coeficientes cuando se representan como contables combinación lineal de $\sin$ $\cos$ funciones.

• ¿Hasta qué punto esto puede ser generalizada a otras contables conjuntos de funciones? Por ejemplo, si queremos mantener nuestro producto interior, podemos obtener otra Schauder base de un adecuado transformar? ¿Qué podemos decir acerca de las bases en general?

• ¿Esto de generalizar a otros espacios de funciones, digamos, funciones periódicas con una singularidad?

• ¿Qué hacen estos pensamientos conducen a la hora de considerar la continouos PIES?

Answer 1

Si usted está interesado en más general transformaciones de Fourier, entonces las dos cosas que inmediatamente vienen a mi mente son:

1. Libro de Titchmarsh Integrales de Fourier contiene un tratamiento detallado de lo que él llama "núcleos generalizados", que son vagamente pares de funciones $h(x),k(x)\in L^2(\mathbb{R})$ tal que

$\int{0}^{\infty}k(xy)\int{0}^{\infty}h(yw)f(w)dwdy=f(x)$.

2. Hay una hermosa teoría de "olas" por Haar et al, que se describen en muchos lugares.

Answer 2

No es lo que quieres, pero vale la pena mencionar. Hay una enorme rama de resumen el análisis armónico (abelian) localmente compacto grupos, que generaliza la transformación de Fourier en reales y círculo. El punto principal sobre el pecado y cos (o más bien complejo exponente $e^{i n x}$) es que es un personaje (continua homomorphism de un grupo a un círculo) y no es difícil ver que esos son los únicos personajes del círculo. Que lo que hace la transformada de Fourier tan poderoso. Si se generaliza a lo largo de la dirección en la que personajes gotas, usted probablemente va a obtener mucho más débil de la teoría.

Answer 3

Hay ciertamente muchos otros base de espacios de funciones en un intervalo, si eliminamos la condición de periodicidad. Los más ampliamente utilizados son polinomios ortogonales. Dado un intervalo de $I\subset\mathbb{R}$ y un peso $w\colon I\to (0,\infty)$, hay una secuencia de polinomios ${P_n}$ ortogonal con respecto el % de peso $w$: %#% $ de #% son a base de $$\int_I P_m(x)P_n(x)w(x)\,dx=0,\quad m\ne n.$. Una referencia clásica es Gabor Szego (1939). Polinomios ortogonales. Publicaciones del Coloquio - sociedad matemática americana.

Answer 4

Cualquier operador compacto normal en un espacio de Hilbert tiene una base ortonormal de autovectores. Si mal recuerdo luego la serie de Fourier estándar proviene el segundo operador de derivados en L^2(0,2pi) con f'(0)=f'(2pi) y f(0)=f(2pi) de las condiciones de contorno. Este operador no es compacto, pero su inversa es (y tiene los mismos vectores propios). Con otros operadores normales compactos (generalmente inversas de operadores diferenciados con ciertas condiciones de límite) se puede obtener otras bases ortonormales.

Answer 5

Usted necesita la condición de ortogonalidad para obtener una representación integral de los coeficientes; de lo contrario, probablemente sería más complicado.

La serie de Fourier de cualquier $L^2$ función converge no sólo en la norma (que se deduce del hecho de que $\{e^{inx}\}$ es una base ortonormales), pero también en casi todas partes (el Carleson-Caza del teorema). Estas dos afirmaciones son ciertas en cualquier $L^p,p>1$ pero al menos el primero requiere de diferentes métodos de espacio de Hilbert. En $L^1$, por el contrario, una función de la serie de Fourier pueden divergir en todas partes.

Hay muchas condiciones que describe el caso de una función de la serie de Fourier converge al valor correspondiente a un punto dado (por ejemplo, tener una derivada en ese punto debería ser suficiente). Simple continuidad es insuficiente; se pueden construir funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en un denso $G_{\delta}$. El problema surge porque la Dirichlet núcleos que uno convolves con la función dada para obtener las sumas parciales de Fourier en cada punto son no acotados en $L^1$ (mientras que, por el contrario, la Fejer de granos de Abel núcleos relacionados, respectivamente, a Cesaro y Abel suma, y, en consecuencia, es mucho más fácil demostrar que la serie de Fourier de una $L^1$ función se puede sintetizar en el valor adecuado utilizando cualquiera de los métodos). Zygmund del libro Trigonométrica de la Serie contiene una gran cantidad de resultados.

Hay una versión de la Carleson Caza teorema de la transformada de Fourier así.