Regla de la cadena con triple composición

Question

Debemos aplicar la regla de la cadena a la siguiente función $f$ :

$$ f(x) = \sqrt{x+\sqrt{2x+\sqrt{3x}}} $$

Supuse que podíamos reescribir esto como $$ f(x) = g(h(j(x))) $$ Sin embargo, no estaba seguro de cómo definir las funciones $$g(x), h(x), j(x) $$ Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Parece más realista escribir la función como una composición de dos funciones, en lugar de tres. Sin embargo, si logra reescribir su función como la composición de tres funciones, entonces $$ [g(h(j(x)))]'=g'(h(j(x))\cdot h'(j(x)) \cdot j'(x) $$ o para una colección finita de funciones diferenciables $\{f_i \}_{i=1}^n$ la derivada de su composición es $$\left[f_1 \circ f_2 \circ \dots \circ f_n\right]' =\prod_{i=1}^n \left(f'_i\circ f_{i+1} \circ \dots \circ f_n\right)$$

Answer 2

Yo simplemente haría algo así: \begin{align} g(x) &= \sqrt{x}\\ h(x) &= x+\sqrt{2x+\sqrt{3x}} \end{align} para que $f(x) = g(h(x))$ . Entonces, por la regla de la cadena $$f'(x) = g'(h(x))h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{h(x)}}h'(x)$$ Entonces aplicamos la regla de la cadena para encontrar $h'(x)$ . $$h'(x) = 1+\frac{1}{2\sqrt{2x+\sqrt{3x}}}(2x+\sqrt{3x})' $$ Puis $$(2x+\sqrt{3x})' = 2+\frac{1}{2\sqrt{3x}}(3x)'=2+\frac{3}{2\sqrt{3x}}. $$

Finalmente obtenemos que $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{2x+\sqrt{3x}}}}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{2x+\sqrt{3x}}}\left(2+\frac{3}{2\sqrt{3x}}\right)\right) $$ Que seguro que se puede simplificar algo, por favor que alguien me diga si he cometido algún error en este cálculo.

Answer 3

Hazlo por pasos. Deja que $j = \sqrt{3x}$

Puis $f = \sqrt{x + \sqrt{2x + j}}$

Dejemos que $h = {\sqrt {2x + j}}$

Y así sucesivamente.

$\displaystyle \frac {\mathrm df}{\mathrm dx} = \frac {\mathrm df}{\mathrm dg}\frac {\mathrm dg}{\mathrm dh} \frac {\mathrm dh}{\mathrm dj}\frac {\mathrm dj}{\mathrm dx}$

edit: por supuesto, las otras respuestas son igual de correctas, pero me parece más fácil introducir más variables y luego sustituirlas al terminar.

Answer 4

1) $j(x) = 2x + \sqrt{3x}$

$j'(x) = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}$

2) $h(x) = x + \sqrt{2x + \sqrt{3x}} = x + \sqrt{j(x)}$

$h'(x) = 1 + \frac{1}{2*\sqrt{j(x)}} * j'(x)$ $=1 + \frac{1}{2*\sqrt{2x + \sqrt{3x}}} * (2 + \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}})$

3) $g(x) = \sqrt{x + \sqrt{2x + \sqrt{3x}}} = \sqrt{h(x)}$

$g'(x) = \frac{1}{2*\sqrt{h(x)}} * h'(x)$ $=\frac{1}{2*\sqrt{x + \sqrt{2x + \sqrt{3x}}}} * (1 + \frac{1}{2*\sqrt{2x + \sqrt{3x}}} * (2 + \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}))$

Answer 5

Tomando @Eff impresionante punto de partida

$$ f = \sqrt{x + \sqrt{2x + \sqrt{3x}}} $$ como

$$ f^2 - x = \sqrt{2x + \sqrt{3x}}\implies \left(f^2-x\right)^2 - 2x = \sqrt{3x} $$

y luego hacer la diferenciación implícita para obtener $f'$ tal vez