¿Por qué la sustitución funciona para una serie maclaurin pero no para una serie taylor?

Question

Digamos que estoy tratando de calcular la expansión de taylor de $\sin(x^2)$ alrededor de $x = 0$ .

Podría asumir que $u = x^2$ y resolver la expansión de taylor alrededor de $x=0$ de $\sin(u)$ . Sólo tendría que sustituir $x^2$ de nuevo para $u$ cuando haya terminado.

Me han informado de que este proceso de sustitución sólo funciona para las series de maclaurin y no para cualquier serie de taylor centrada en un punto distinto de cero? ¿Por qué es este el caso? ¿Por qué se permite la sustitución en primer lugar?

Answer 1

Fijar $u>0$ . Expansión de Maclaurin $\sin(u)$ alrededor de $u$ es:

$$\sin(u)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nu^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

Ahora $u$ es fijo, por lo que se puede expresar $u$ como $u=x^2$ para algunos $x$ y reescribir la serie:

$$\sin(x^2)\sin(u)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nu^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(x^2)^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

Obsérvese que se trata de una serie de Taylor para $\sin(x^2)$ Si tienes series de Taylor para alguna función $f(x)$ alrededor de $x_0\neq 0$ También puedes sustituirlo por $u=x^2$ pero no obtienes la serie Taylor como resultado:

$$f(u)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(u-x_0)^n$$

Si se sustituye por $u=x^2$ en este caso se obtiene:

$$f(x^2)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x^2-x_0)^n$$

Es algo, pero no es la serie Taylor en forma:

$$f(x^2)=\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n$$

Answer 2

¿A qué te refieres con lo de no trabajar?

Para evitar problemas de convergencia suponemos que la expansión de taylor es igual a la función en todo $\mathbb{R}$ $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n \quad x\in\mathbb{R}.$$ Digamos que quieres encontrar una expansión de taylor para $g(x)=f(x^2)$ . Claro, es legal entrar en esta ecuación con $x^2$ . $$g(x)=f(x^2)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x^2-a)^n .$$ Pero esto ya no es una expansión de taylor, debido al cuadrado en $a_n(x^2-a)^n$ . En general, no existe un método de apertura de latas para convertir esta expansión en serie en una expansión de taylor con términos $b_n(x-a)^n$