¿Funciones definidas sobre los elementos globales dan lugar a las flechas en un topos bien acentuado?

Question

Supongamos que $\mathcal{E}$ es un bien-señaló primaria topos, que $X$ $Y$ son objetos de $\mathcal{E}$, $F$ es una función que asigna los elementos globales $p: 1 \to X$ a los elementos globales $F(p): 1 \to Y$ (aquí se $1$ es el terminal objeto de $\mathcal{E}$). ¿Existe un (necesariamente único) flecha $f: X \to Y$ $\mathcal{E}$ tal que $fp = F(p)$ todos los $p$? De manera equivalente, es cualquier objeto en un bien-señaló topos el subproducto más de sus elementos globales de $1$? Es fácil mostrar que la respuesta es "sí", si el subproducto existe desde la inducida por el mapa de $\coprod_{p \in \Gamma X} 1 \to X$ es la iso. Pero no sé si el subproducto existe en general.

(Podría alguien con la suficiente reputación de crear un "topos-la teoría de la" etiqueta y agregar a esto? Gracias)

Answer 1

Tal vez considerar una subcategoría completa de conjunto con sólo las funciones que le permiten crear dado ZF. A continuación encontrar alguna función que en teoría normal requiere AC. Esto debe hacer el truco. O el topos de conjuntos constructible y funciones, lo mismo.