demostrar la ecuación diofántica no tiene ninguna solución $\prod_{i=1}^{2014}(x+i)=\prod_{i=1}^{4028}(y+i)$

Question

Mostrar que esta ecuación $$(x+1)(x+2)(x+3)\cdots(x+2014)=(y+1)(y+2)(y+3)\cdots(y+4028)$ $ no tienen ninguna solución del número entero positivo.

¿Este problema es china TST (2014), recuerdo un resultado famoso? ¿tal vez es un Erdos tiene prueba de este problema?

¿tal vez este seguimiento tiene algún papel? ¿solución en $$(x+1)(x+2)(x+3)\cdots(x+k)=(y+1)(y+2)(y+3)\cdots(y+2k)$ $ entero positivo?

Gracias por la ayuda

Answer 1

El $\nu_2$ (el exponente de la mayor potencia de $2$ división) de la RHS es, al menos,$4010$, por lo que debe ser un elemento $\xi\in X=\{x+1,\ldots,x+2014\}$ tal que $\nu_2(\xi)\geq 1996$. Esto da que, si una solución de $(x,y)$ existe, debe ser enorme, con $x>2^{1995}$$y$$\sqrt{x}$. Por el mismo motivo ($\nu_3$en lugar de $\nu_2$), si existe una solución, un múltiplo de $3^{995}$ debe estar en $X$. Así que muchos múltiplos de enorme competencias de los diferentes números primos, debe recaer en un plazo relativamente corto intervalo: esto es muy poco frecuente, ya que es el que da ese $$ \Omega\left(\prod X\right) $$ es extremadamente grande.

También tenemos que todos los números primos en la $[2015,4028]$ intervalo de dividir $\prod X$: $$2017,2027,2029,2039,\ldots,4027\; | \prod X\tag{2},$$ así, además, $x$ puede mentir en un par de residuo clases de $\pmod{\prod_{2014<p<4028}p}$.

Answer 2

OK esto no acaba de funcionar, pero he aquí algunas ideas.

Deje $k=2014$ para la facilidad de la notación. Supongamos que tenemos una solución.

(1) Ampliar la RHS como $\prod_{i=1}^{k} (y^2+(2k+1)y+i(2k+1-i))$. Vemos que $y^2+(2k+1)y+2k<x<y^2+(2k+1)y+k^2$.

(2) Supongamos que para un primer $p$ y $a\ge1$, $p^a$ es el más grande poder dividir cualquier factor de $y+i$ sobre el lado derecho. Por (1), tenemos que cada factor en la LHS es de la forma $$y^2+(2k+1)y+c=(y+i)^2+(2k+1-2i)(y+i) +i^2-(2k+1)i+c$$ for $c\in(2k,k^2+2k)$. Letting $y'=y+i$, esto es $$y'^2+(2k+1-2i)y'+d$$ for $d\en (-k^2,k^2)$. Now assuming $2k<k^2<p^a$, we have $d<p^a$ so the only way this is divisible by $p^a$ is if $d=0$; then the highest power of $p$ that can divide this is $p^{a+\log_{p}(2k)}$. Suppose the highest power of $p$ dividing a term on the LHS is $p^{a+j}$; we have $j\le \log_p (2k)$.

(3) Asumiendo $k^2<p^a$ hemos $$ v_p(LHS)=\sum_{i=1}^{a+j}\left\lfloor{\frac{x+k}{p^i}}\right\rfloor -\left\lfloor{\frac{x}{p^i}}\right\rfloor $$ $$ v_p(RHS)=\sum_{i=1}^{a}\left\lfloor{\frac{y+2k}{p^i}}\right\rfloor -\left\lfloor{\frac{y}{p^i}}\right\rfloor $$ El uso de $x\ge \lfloor x\rfloor>x-1$ y tomando nota de que los términos en la suma de $\log_p(2k)<i\le a$ 1 de la 2ª suma y en la mayoría de los 1 en la primera suma, $$ 0=v_p(RHS)-v_p(LHS)\ge \left[\sum_{i=1}^{\log_p (2k)}\left(\frac{2k}{p^i}-1\right) -\left(\frac{k}{p^i}+1\right)\right]-\log_p(2k)\ge \frac kp-3\log_p(2k). $$

Answer 3

Según el teorema 4 en el libro "en el cociente de dos enteros consecutivos", la ecuación $$(x+1)\cdots(x+k)=(y+1)\cdots(y+2k)$ $ tiene una única solución en números enteros $x\geq0,y\geq0,k\geq2$ y se da en $x=7,y=0,k=3$.

Answer 4

Esta no es una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario. Tal vez ayuda a:

Observar que $$\frac{(y+1)\cdots(y+4028)}{4028!}={y+4028\choose y},$$ which is an integer. Then $$(x+1)\cdots(x+2014)=4028!{y+4028\choose y},$$ so the left hand side is an integer multiple of $4028!$.

Esto produce un gran límite inferior de $x$ como sigue. El producto $(x+1)\cdots(x+2014)$ debe ser divisible por el producto de $p$, $2p$, y $3p$, para cualquier prime con $3p\le4028$. Si $p>1007$, no hay espacio para tres múltiplos de $p$$x+1$$x+2014$, por lo que una de las $x+j$ debe ser un múltiplo de $p^2$. El uso de $p=1327$,$x>1327^2$.

También puede obtener algunos parcial de congruencias para $x$. El primer $4027$ divide $(x+1)\cdots(x+2014)$, lo $(x \mbox{ mod } 4027)\ge2013$.

[Nota de que en mi comentario a la pregunta original, que proporcionan una referencia a un resultado general lo que implica que no hay solución a la ecuación original.]