Un problema acerca de neumáticos para motos, relacionadas con el Tiempo y el Trabajo o la tasa de métodos de trabajo.
Esta no es una tarea que se trate, ni, que yo sepa, un concurso de que se trate. Está pensado como un desafío para el Año 10/11 o de 15/16 años de edad, pero no debería requerir ningún conocimiento del cálculo.
Los lectores serán sin duda familiarizado con el tipo de la tasa-de-trabajo problema, a menudo visto en la escuela primaria, que va como esto:
Alice puede pintar un $X$ metro de longitud de la cerca en la $A$ horas si trabaja por su propia cuenta. Bob puede pintar la misma valla en $B$ horas si trabaja por su propia cuenta. Si trabajan juntos, comenzando en los extremos opuestos, ¿cuánto tiempo le tomará a la pintura de la valla?
Solución: Cada hora Alice va a pintar $\frac{X}{A}$ metros de la esgrima, y de la misma manera Bob va a pintar $\frac{X}{B}$ metros. Juntos, sin interferencias, será pintar $\frac{X}{A}+\frac{X}{B}$ metros y por lo tanto las horas que toma completar el trabajo es $$\frac{X}{\frac{X}{A}+\frac{X}{B}}=\frac{1}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}}=\frac{AB}{A+B}$$
Hasta ahora tan bueno. Pero los siguientes tres partes, la pregunta no es tan obvia.
PREGUNTA:
Una motocicleta ruedas se desgastan los neumáticos constante, pero diferente, de las tasas. Un neumático montado en el frente de la rueda se llevan a cabo después de $F$ km, y un tiro ajustado a la rueda trasera se llevan a cabo después de $B$ km.
a) Por el intercambio de los neumáticos entre las ruedas delanteras y las traseras, ¿cuál es la distancia máxima que el propietario puede viajar en sólo dos neumáticos? Cuando ella debe intercambiar los neumáticos?
b) ¿Cuál es la máxima distancia que puede viajar si ella también tiene un neumático de repuesto? Cuando ella debe intercambiar los neumáticos?
c) El propietario decide ajuste de un coche a su motocicleta, y una neumáticos instalados a la orilla del coche se desgastan después de $S$ km. ¿Cuál es la máxima distancia que puede viajar en el tres de los neumáticos? Cuando ella debe intercambiar los neumáticos?
Asumimos, sin duda, que todos los neumáticos son idénticos y son todos de marca nueva para empezar, y que todos los neumáticos va a ser desgastado por el tiempo que ha impulsado a la máxima distancia. En la parte a) suponemos que los neumáticos se intercambian sólo una vez, y que habrá dos cambios de formato en las partes b) y c).
Mi Enfoque
a) Dejar que la distancia máxima se $D$ y dejar que la distancia recorrida para el intercambio a través del tiempo se $x$. Deje $r$ la profundidad de goma en cada neumático, medido en mm. Por cada milla recorrida, la parte posterior de la rueda pierde $\frac{r}{B}$ mm de goma. Por lo tanto en viajar una distancia $x$, la pérdida de la goma en el este neumático es $\frac{rx}{B}$. En el punto de intercambio, el resto de la goma en el este neumático es $r-\frac{rx}{B}$ e este neumático montado en el frente de la rueda para viajar la distancia restante $D-x$. Cuando está equipado con la rueda delantera, la pérdida de goma por cada milla es $$\frac{r}{F}=\frac{r-\frac{rx}{B}}{D-x}.$$
Reordenando esta ecuación da $$x=\frac{B(D-F)}{B-F}.$$
Desde $x>0$, tenemos que, o bien $B<D<F$ o $F<D<B$, lo cual tiene sentido, ya que es de esperar que el máximo de viaje a menos de $\max(B,F)$.
Ahora podemos escribir la expresión equivalente si tenemos en cuenta la parte delantera de los neumáticos exactamente de la misma manera y, a continuación, comparar las diferentes expresiones de $x.$ Así tenemos:
$$\frac{B(D-F)}{B-F}=\frac{F(D-B)}{F-B}.$$
Podemos arreglar esto y obtener un extraño de apariencia familiar de la expresión:
$$D=\frac{2}{\frac{1}{F}+\frac{1}{B}}$$
Cuando este es sustituido volver a ir a $x$, obtenemos: $$x=\frac {1}{\frac{1}{F}+\frac{1}{B}}$$
Obviamente este es exactamente el mismo tipo de expresión obtenida en el Alice Y Bob tasa-de-trabajo problema. Y esto es lo que me sugiere que debe haber una forma más fácil y más intuitivo método para obtener el resultado.
Además creo que no sería fácil de aplicar mi método de las partes b) y c), por lo que debe haber una manera más fácil.
Puede alguien darme una pista? Creo que me estoy perdiendo algo obvio.
