Sea$X$ un espacio de Banach y$K$ sea un subconjunto débilmente compacto de$X$, es decir, un conjunto compacto con respecto a la topología$\sigma(X, X^{*})$ -. ¿Es cierto que$K$ es débilmente separable? Dado que la topología débil nunca se puede medir para el espacio dimensional infinito, es imposible construir un subconjunto denso contable utilizando una métrica. Además, traté de usar el teorema de Eberlein-Smulian, que establece que una compacidad débil es equivalente a una compacidad secuencial débil. Pero esto no me ayuda.
Respuesta
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Sea$H$ un espacio de Hilbert no separable, digamos uno con una base ortonormal$\{e_t\}$. Deje que$K$ sea la bola unitaria cerrada de$H$. Por reflexividad y el teorema de Banach Alaoglu$K$ es débilmente compacto. Supongamos que hay un conjunto denso contable$\{f_n\}$ en$K$. Como el débil cierre de$M \equiv span \{f_n:n \geq 1\}$ es igual al cierre de la norma, vemos que cada$e_t$ está en el espacio de Hilbert separable que abarca el$f_n$ 's. Esto es una contradicción.
