¿Por qué el conjunto de mandelbrot y sus variantes sigue patrones similares a epi/hypo trochodis y tablas de multiplicar circulares?

Question

Por lo que el $z^2 + c$ variante tiene un micrófono cardioide de forma en el centro. De esta forma se hace por un epitrochoid con una relación de la radi ser de uno o de los dos tiempos de la tabla cuando nos mostrará en un círculo (como se ve en este video https://www.youtube.com/watch?v=qhbuKbxJsk8). La siguiente variación $z^3 +c$ tiene un nephroid como su central de la bombilla, su forma es hecha por un epitrochoid con una relación de la radi dos (o a partir de las 3 de la tabla de tiempos cuando nos los muestran como más arriba). $z^4 + c$ sigue el patrón central de la bombilla, es producido por una epitrochoid con una relación de la radi, tres(o las 4 de la tabla de tiempos). Así que para generalizar la central de la bombilla tiene una forma hecha por un epitrochoid con una relación n-1, donde n es el exponente en $z^n +c$.

Esto también es cierto para la la mandelbar conjuntos (cuando lanzamos el signo de su "imaginario" componente). El primer fractal en el conjunto de $\bar{z}^ 2 +c$ tiene un bulbo central de la forma, hecha por un hipotrocoides con un ratio de 3. El siguiente en la secuencia $\bar{z}^ 3 +c$ tiene un bulbo central de la forma, hecha por un hypotrochoid con una relación de 4. Para el mandelbar conjunto de la cental de la bombilla, es producido por una hypotrochoid de la relación n+1, donde n es el exponente en $\bar{z}^ n +c$.

¿Qué causa estos enlaces? Este sitio tiene algunos diagramas de los diferentes fractales mencionado http://www.relativitybook.com/CoolStuff/erkfractals_powers.html. En este sitio también se habla acerca de la simetría rotacional de cada fractal y cómo sigue el mismo patrón. (para los conjuntos de mandelbrot el rotaional simetría es n-1 que del exponente, y el mandelbar establecer la simetría rotacional es n+1 de la exponente).

A mí me parece extraño que el conjunto de mandelbrot sigue la misma regla de epitrochoids y la mandelbar conjuntos (la inversa de los conjuntos de mandelbrot, hasta cierto punto, sigue la misma regla de la inversa de la epitrochoids, el hipotrocoides.

Answer 1

Los componentes del conjunto de Mandelbrot corresponden a conjuntos de $c$ valores tales que la función correspondiente $f_c(z)=z^2+c$ tiene algún comportamiento específico. Por ejemplo, $c$ se encuentra en las principales cardioide si y sólo si la función de $f_c$ tiene un atractivo punto fijo. El disco de radio $1/4$ adjunta a la izquierda de la cardioide es el período de dos bulbo; un punto de $c$ es en esta bombilla si y sólo si la función de $f_c$ tiene un atractivo órbita de periodo 2. El conjunto de período de 3 parámetros es un poco más complicado, ya que no está conectado. Consta de dos discos como componentes de la cerca de la parte superior y la parte inferior de la cardioide y una copia pequeña de la cardioide en el eje real negativo. De nuevo, el valor de un parámetro $c$ es en este período de 3 región si y sólo si la función correspondiente $f_c$ tiene un atractivo órbita de periodo 3. Todas estas regiones se describen en esta imagen:

Tenga en cuenta que los esquemas se generan usando el proceso de parametrización que explicar exactamente cómo esas formas surgir. De nuevo, el valor del parámetro $c$ se encuentra en las principales cardioide si y sólo si la función correspondiente $f_c$ tiene un atractivo punto fijo. Algebraicamente: \begin{align} f_c(z) &= z \\ |f_c'(z)| &< 1. \end{align}

La ecuación en la parte superior de los estados que $z$ es un punto fijo. La desigualdad en la parte inferior indica que el punto fijo es atractivo. Ahora, en el límite debemos tener: \begin{align} f_c(z) &= z \\ |f_c'(z)| &= 1. \end{align} Es decir, el punto fijo ya no es estrictamente atractivo en el límite, pero sólo neutrales. Desde cualquier número complejo de valor absoluto 1 se puede expresar en la forma $e^{it}$, este par de ecuaciones se puede escribir sin el valor absoluto: \begin{align} f_c(z) &= z \\ f_c'(z) &= e^{it}, \end{align} para algunos $t$. Teniendo en cuenta el hecho de que $f_c(z) = z^2+c$, obtenemos \begin{align} z^2+c &= z \\ 2z &= e^{it}. \end{align} Este sistema de ecuaciones puede ser resuelto por $z$ $c$ en términos de $t$. Ni siquiera es particularmente difícil. La segunda ecuación rendimientos $z=e^{it}/2$. Esto puede ser enchufado en la primera ecuación para obtener $$c = e^{it}/2 - e^{2it}/4.$$ Esto pasa a ser la representación paramétrica de una cardioide y es exactamente la fórmula utilizada para generar la imagen de arriba.

Para obtener el proceso de parametrización de orden superior de los bulbos, se pueden hacer cosas similares con (por ejemplo) \begin{align} f_c(f_c(z)) &= z \\ (f_c\circ f_c)'(z) &= e^{it} \end{align} o \begin{align} \left(c+z^2\right)^2+c &= z \\ 4 z\left(c+z^2\right) &= e^{i t}. \end{align}

Este sistema puede ser resuelto por $c$ obtener $c=-1+e^{it}/4$, que describe el período de dos discos conectados a la izquierda de la principal cardioide.

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Similares se pueden hacer las cosas por orden superior de la bifurcación locuses. Para $f_c(z)=z^3+c$, por ejemplo, obtenemos para el cuerpo principal: \begin{align} z^3 + c &= z \\ 3z^2 &= e^{i t}. \end{align}

Esto puede ser resuelto por $c$ a rendimiento $$c = \frac{e^{{3 i t}/{2}}-3 e^{{i t}/{2}}}{3\sqrt{3}}.$$ Yo que la parametrización para generar la siguiente imagen: