Si disminución monótona y $\int_0^\infty f(x)dx <\infty$ y $\lim_{x\to\infty} xf(x)=0.$

Question

<blockquote> <p>Que $f:\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ ser una monótona decreciente función definida sobre los números verdaderos positivos con $$\int_0^\infty f(x)dx <\infty.$$ Show that $% $ $\lim_{x\to\infty} xf(x)=0.$</p> </blockquote> <p>Esta es mi prueba: Supongamos que no. Entonces hay $\varepsilon$ tal que para cualquier $M>0$ allí existe $x\geq M$ tal que $xf(x)\geq \varepsilon$. Así podemos construir una secuencia de $(x_n)$ tal que $x_n \to \infty $ y $x_n f(x_n ) \geq \varepsilon$. Tan $$\frac{\varepsilon}{x_n}\leq f(x_n) \implies \sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{\varepsilon}{x_n} \leq \sum_{n\in\mathbb{N}} f(x_n) \leq \int_0^1 f(x)dx.$ $ lo que conseguimos una contradicción. Me feal como que la idea correcta, pero algunos detalles están equivocados. Cualquier ayuda sería apreciada.</p>

Answer 1

Observe que, puesto que $f$ es monótona decreciente, tiene cada $x$,

$$0\leq f(x) (x - \frac{x}{2}) \leq \int_{\frac{x}{2}}^{x} f(t) \, dt$$

Por lo tanto,

$$0\leq xf(x) \leq 2\int_{\frac{x}{2}}^{x} f(t) \, dt$$

El lado derecho va a cero puesto que la integral converge.

Agregado: Usted debe convencerse que la última frase es verdadera. Podría hacer esto al escribir la integral como una suma de términos de la forma $\int_{x_i/2}^{x_i} f(t) \,dt$, para una apropiada secuencia ${x_i}$.