Este es un muy técnica de la pregunta sobre el envío de archivos adjuntos. Estoy preguntando por qué dos definiciones son equivalentes. Mi pregunta aparece en el penúltimo párrafo, después de que he descrito en los dos procedimientos cuya equivalencia yo quiero probar.
En el libro "Diferencial de Colectores" de Antoni Kosinski, el siguiente procedimiento para conectar dos liso n-colectores $N_1, N_2$ a lo largo de submanifolds de sus límites:
Deje $E := E' \oplus \mathbb{R}^{\geq 0}$ ser la "mitad superior" de un rango n-m de riemann vector paquete a través de una suave m - colector $M$ y deje $\phi_i : E \rightarrow N_i$ ser imbeddings la ampliación de imbeddings $E' \rightarrow \partial N_i$. Ahora si $\alpha$ es cualquier orientación revertir diffeomorphism $(0,\infty) \rightarrow (0, \infty )$, podemos hacer las siguientes identificaciones: $x \rightarrow \phi_2\{ \alpha (|\phi_1^{-1}(x)|) \frac{ \phi_1^{-1}(x)}{|\phi_1^{-1}(x)|}\}$ al $x \in \phi_1 (E- M)$ ( I. e. $x$ es un elemento de la primera tubular barrio de menos la sección cero) El cociente del espacio de $N_1 - \phi_1 (M) \sqcup N_2 -\phi_2 (M)$ bajo esta identificación es entonces, el colector.
Kosinski, a continuación, dice que "la conexión de un mango" a un colector N es simplemente un caso especial de la anterior, cuando se $N_1 = N$$N_2 = \mathbb{D}^n$, pero su definición es un poco diferente: Vamos a $n= \lambda + \mu$ y escribir $x \in \mathbb{D}^n$$x = (x_\lambda, x_\mu)$. Para $0\leq \epsilon < 1$, Vamos A $T(\epsilon) := \{ x \in \mathbb{D}^n : |x_\lambda|^2 > \epsilon \}$ . Ahora el análogo de la involución mapa de $\alpha$ en el párrafo anterior es el mapa $\beta : T(\epsilon)-S^{\lambda-1} \rightarrow T(\epsilon)-S^{\lambda-1}$ dada por
$(x_\lambda, x_\mu) \mapsto (\frac{x_\lambda}{|x_\lambda|} (1- |x_\lambda|^2 + \epsilon)^{1/2}, x_\mu \frac{(|x_\lambda|^2-\epsilon)^{1/2} }{(1-|x_\lambda|^2)^{1/2}})$.
Que no es tan misterioso como parece, porque es sólo la composición de la obvia diffeomorphism $\psi: \mathbb{D}^n - S^{\lambda -1} \rightarrow (\mathbb{D}^{\lambda}-S^{\lambda-1}) \times \mathbb{D}^{\mu}$, seguido por una involución en el $\lambda$ coordinar seguido por la inversa de a $\psi$.
Ahora para adjuntar un $\lambda$ manejar a un colector $N$, podemos elegir una involucración $h: T(\epsilon), \partial T(\epsilon) \rightarrow N, \partial N$ y, a continuación, identificar las $x \in T(\epsilon)-S^{\lambda-1}$$h\beta (x)$. Y por último, el cociente de $N-h(S^{\lambda -1}) \sqcup \mathbb{D}^n - S^{\lambda -1}$ en virtud de esta identificación es la que desee manejar el apego.
Ufff!
Ok aquí está mi pregunta: ¿Cuál es el vector de paquete de la estructura de $\phi: E' \oplus \mathbb{R}^{\geq 0} \rightarrow T(\epsilon)$, lo que hace que la segunda definición equivalente a la primera? Más al punto, ¿por qué debería existir? He estado pensando en esto por un largo tiempo y no tengo idea de lo que debería ser. Yo creo saber lo $\phi |_{E'}$ debe ser, pero no tengo idea de cómo extender de tal manera que las involuciones $\alpha$ $\beta$ "línea". Gracias por leer tal terriblemente cuestión técnica.
Más pensamientos: Lo que realmente tocones mí es el siguiente. Si los dos involuciones son para "line up," cada uno de los rayos que emanan desde el origen en (una fibra de) $E$ debe ser asignado a un conjunto de la forma $\psi^{-1} \{(t x_{\lambda},x_\mu ) : \epsilon < t^2 < 1 \}$ fijos $x_\lambda \in S^{\lambda -1}$ $x_\mu \in \mathbb{D}^{\mu}$ e donde: $\psi$ se definen como el anterior. Pero estos últimos conjuntos parecen ser arcos de elipse cuyos cierres no será transversal a la frontera ($S^{n-1}$). Mientras que la mayoría de los rayos que emanan desde el origen en (fibras de) $E$ $do$ cumplir con el límite transversalmente!... :(
