El conjunto de puntos de discontinuidad es precisamente un conjunto abierto $U\subset \mathbb{R}^n$

Question

Para cada subconjunto abierto $U\subset \mathbb{R}^n$ existe una función $f :\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ tal que $f$ es discontinua en cada punto de $U$ y continua en $\mathbb{R}^n\setminus U$ ?

Como sé, dado cualquier conjunto abierto $U\subset \mathbb{R}^n$ existe una función $f :\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ tal que $f$ es continua en cada punto de $U$ y discontinua en $\mathbb{R}^n\setminus U.$

Answer 1

Dejemos que $g(x)$ sea la distancia desde $x$ a $\mathbb R^n\setminus U$ . Sea $h$ sea la función característica de $\mathbb Q^n$ . Entonces $f(x)=g(x)h(x)$ tiene esta propiedad. (Esto es suponiendo que $U\neq \mathbb R^n$ ; de lo contrario, tome $f=h$ .)