Traducciones y Noether ' teorema s

Question

Estoy bien con $U(1)$ simetría y el Teorema de Noether, pero que luchan con las traducciones del campo; es decir,

$$\phi'(x^{\mu})=\phi(x^{\mu}-a^{\mu}),$$ where $a^{\mu}$ constantes cuatro-vector

$$x^{\mu}=x^{\mu}+a^{\mu},$$

y la densidad Lagrangiana

$${\cal L}=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi^*\partial^{\mu}\phi-V(\phi^*\phi).$$

Así que un par de preguntas:

1. Yo no puedo mostrar el Lagrangiano es invariante bajo esta transformación. Es un caso que como $a^{\mu}$ es constante, entonces el primer término en el Lagrangiano obviamente siendo los mismos? Pero, ¿qué acerca de la $V$? Cómo puedo demostrar que es invariante?

2. Infinitesimalmente, es la transformación de $\phi'(x^{\mu})=\phi(x^{\mu})-a^{\mu}\partial_{\mu}\phi(x^{\mu})?$

3. Si estoy en lo correcto en el punto 2., ¿cómo se puede aplicar el Teorema de Noether para esto?

Answer 1

Una traducción realizada por $x^\nu \to x^\nu - \epsilon^\nu$ corresponde a un infinitesimal de la transformación de los campos, por

$$\phi \to \phi + \epsilon^\nu \partial_\nu \phi$$

como estamos realizando un activo en lugar de pasivo transformación. El Lagrangiano se transforma a medida,

$$\mathcal{L}\to \mathcal{L}+\epsilon^\nu \partial_\nu \mathcal{L}$$

sustituyendo $\phi$ en el Lagrangiano. Observe el cambio es hasta un total de derivados, y, por tanto, del teorema de Noether es aplicable a la simetría. La conserva de la densidad de corriente está dada por,

$$j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}X(\phi)-F^\mu(\phi)$$

donde $X=\delta\phi$ $F^\mu$ es tal que $\partial_\mu F^\mu=\delta \mathcal{L}$ infinitesimalmente. Para nuestro caso, podemos obtener el simétrico de tensión-energía tensor (análoga a la de la relatividad general),

$$T^\mu_\nu=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \partial_\nu \phi - \delta^\mu_\nu \mathcal{L}$$

donde la delta de Kronecker se levantó con la métrica de Minkowski. El actual satisface, $\partial_\mu T^{\mu}_\nu = 0$, y la correspondiente Noether cargo,

$$E=\int \mathrm{d}^3 x \, T^{00}$$

es la energía total del sistema, mientras que,

$$P^i = \int \mathrm{d}^3 x \, T^{0i}$$

es el $i$ésima componente del momentum total del campo, donde $i=(x,y,z)$ solamente. Una advertencia: el estrés-tensor de energía derivada por el teorema de Noether no es siempre simétrica, y puede requerir la adición de un plazo que se cumple la ecuación de continuidad, y se asegura de simetría en los índices.

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Método Alternativo

Recordar a obtener las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general, podemos variar la acción de Einstein-Hilbert,

$$S\sim \int \mathrm{d}^4 x \, \sqrt{-g} \, \left( R + \mathcal{L}\right)$$

Del mismo modo, en la teoría cuántica de campos, podemos promover nuestra métrica de Minkowski a un genérico tensor métrico, con lo que la sustitución de la cinética término de la Lagrangiana con covariante derivados. Hasta algunas de las constantes de la tensión tensor de energía está dada por

$$T^{\mu\nu} \sim \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\partial (\sqrt{-g}\mathcal{L})}{\partial g^{\mu\nu}}$$

evaluados en $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$, que es precisamente la definición que aplicar cuando la obtención de las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general.