Soluciones del número entero para $a+b+c+d=0$, $a^3+b^3+c^3+d^3=24$

Question

Cómo obtener todas las soluciones de enteros para el $$a+b+c+d=0,$$ and $% $ $a^3+b^3+c^3+d^3=24$

Hasta ahora has puesto $a=-b-c-d$ en la ecuación de 2 º y tratar de lo decírnoslo, pero no encuentro nada útil.

Answer 1

Desde $d=-a-b-c$, puede comprobar la siguiente identidad:

$$a^3+b^3+c^3+d^3=-3(a+b)(a+c)(b+c).$$

Así $$(a+b)(a+c)(b+c)=-8,$ $

y que fácilmente le da todas las soluciones de enteros. Por ejemplo, el caso

\begin{cases} a+b=1 \ a+c=1\ b+c=-8 \end{casos}

le $(a,b,c,d)=(5,-4,-4,3),$ y el caso

\begin{cases} a+b=-2 \ a+c=-2\ b+c=-2 \end{casos}

le $(a,b,c,d)=(-1,-1,-1,3).$