Integridad de $\ell^p$

Question

Decir $\{x_n\}$ es de Cauchy en $\ell^p$ $x$ es su pointwise límite. Para argumentar que $x \in \ell^p$ serían las siguientes es correcta:

Deje $\varepsilon > 0$ y deje $N$ s.t. $n,m > N$ $\Rightarrow$ $|x_n - x_m|_p < \varepsilon$. A continuación,$\lim_{m \to \infty} |x_n - x_m|_p = |x-x_n|_p \le \varepsilon$.

Vi el siguiente argumento diferente: $|x_n - x_m|_p < \varepsilon$ implica $\left(\sum_{k=0}^M |(x_n - x_m)_k|^p\right)^{1/p} < \varepsilon$ todos los $M$ por lo tanto $\lim_{m \to \infty}\left(\sum_{k=0}^M |(x_n - x_m)_k|^p\right)^{1/p} = \left(\sum_{k=0}^M |(x_n - x)_k|^p\right)^{1/p} \le \varepsilon$ todos los $M$ por lo tanto $\lim_{M \to \infty} \left(\sum_{k=0}^M |(x_n - x)_k|^p\right)^{1/p} \le \varepsilon$.

La diferencia es el uso de un número finito de suma paso en el medio. Es correcto caer? Y si no: ¿por qué no? La norma parece ser continua, así que uno debe ser capaz de intercambiar norma y el límite. Gracias.

Answer 1

Edit: El segundo argumento es correcto, no la primera. Pero esa no es la única cosa que usted tiene que probar. Hay tres pasos. Ver la costumbre de primaria de la prueba a continuación.

Ahora, si realmente quieres cambiar, algunos límites, aquí es lo que usted puede hacer. Fix $\epsilon>0$ y tome $N$ tal que $\|x_n-x_m\|_p\leq \epsilon$ todos los $n,m\geq N$. Ahora fix $n\geq N$. Y considerar la secuencia de $y_m=x_n-x_m$ que converge pointwise a $x_n-x$, por lo que el $\liminf y_m(k)=x_n(k)-x(k)$ todos los $k$. Tenemos $$ \|y_m\|_p\leq \epsilon\qquad\forall m\geq N \qquad\Rightarrow\qquad \liminf_m\|y_m\|_p\leq \epsilon. $$ Ahora por Fatou del lema (que es fácilmente demostrado en $\ell^p$), que han $$ \|x_n-x\|_p=\|\liminf_m y_m\|_p\leq \liminf_m \|y_m\|_p\leq \epsilon $$ para todos los $n\geq N$. Así que esto demuestra todo al mismo tiempo.

Habitual de primaria de la prueba:

1. Encontrar un pointwise límite de $x$ por pointwise integridad. Has hecho ya.

2. Demostrar $x$ pertenece a $\ell^p$. Has hecho que también.

3. Compruebe que $x_n$ tiende a $x$ $\ell^p$ norma.

Aunque la técnica es esencialmente el mismo, uno debe tratar a los 2 y 3 por separado.

Sobre 2. De hecho, hay un $\epsilon$ libre de argumento en este punto, ver la nota al final. Ahora a probar esto de la manera que usted lo hizo, por lo general se escoge $\epsilon=1$. Entonces no es $N$ tal que para todo $n,m\geq N$, $\|x_n-x_m\|_p\leq 1$. En particular, para todos los $K$ y todos los $m\geq N$: $$ \left(\sum_{k=1}^K|x_m(k)|^p\right)^{1/p}\leq \left(\sum_{k=1}^K|x_N(k)|^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{k=1}^K|x_m(k)-x_N(k)|^p\right)^{1/p} $$ $$ \leq \|x_N\|_p+\|x_m-x_N\|_p\leq \|x_N\|_p+1. $$ Ahora vamos a $m$ tienden a $+\infty$. Y, finalmente,$K$$+\infty$. Usted obtener $$ \|x\|_p\leq \|x_N\|_p+1 $$ por lo $x\in\ell^p$.

3., ahora. Fix $\epsilon>0$. Tome $N$ tal que $\|x_n-x_m\|_p\leq \epsilon$ todos los $n,m\geq N$. A continuación, para $n,m\geq N$ y todos los $K$: $$ \left(\sum_{k=1}^K|x_m(k)-x_n(k)|^p\right)^{1/p}\leq \|x_m-x_n\|_p\leq \epsilon. $$ Deje $m$ tiende a $+\infty$. A continuación,$K$. Consigue $\|x-x_n\|_p\leq \epsilon$ todos los $n\geq N$.

Nota: la Prueba de la 2 sin $\epsilon$. Desde $x_n$ es de Cauchy, es limitada, por ejemplo por $M$. A continuación, para todos los $K$ y todos los $n$: $$ \left(\sum_{k=1}^K|x_n(k)|^p\right)^{1/p}\leq \|x_n\|_p\leq M. $$ Ahora vamos a $n$ tienden a $=\infty$. Y, a continuación,$K$. Consigue $\|x\|_p\leq M$. Por lo $x\in\ell^p$.

Answer 2

No es correcto para el paso de suma finita. Su ecuación $$\lim_{m\to\infty} |x_n-x_m|_p = |x-x_n|_p$$ assumes already that $x_m\to x$ in $\ell^p$. El paso de suma finita es un truco para que pueda tener un límite. (Siempre está bien tener un termwise de una suma finita, pero no siempre es aceptable para una suma finita).