Un campo $F$ tiene a lo sumo un número finito de elementos de orden $\leq$ $n$ para cualquier $n$ en números enteros.

Question

Un campo $F$ tiene a lo sumo un número finito de elementos de orden $\leq n$ para cualquier $n$ en números enteros.

¿Cómo puedo demostrarlo? Pensé que se relaciona con el hecho de que un polinomio de grado $n$ tendría a más $n$ raíces, $F$. Pero no estoy seguro. Agradecería sugerencias.

Answer 1

Sugerencia: por encasillamiento, si hay infinitamente que muchos elementos de orden $\le n$ entonces para algunos $k\le n$ allí son infinitamente muchos elementos de orden $k,\:$ por lo tanto $x^k - 1$ tiene infinitamente muchas raíces $\:\Rightarrow\Leftarrow$

Answer 2

Trabaja tu idea. Hay varias formas de llevar a cabo. Por ejemplo, que $N$ ser el mínimo común múltiplo de los números $1, 2, \dots, n$. Entonces cada elemento de orden $\le n$ es un cero del polinomio $x^N-1=0$. O bien, más derrochador, puede utilizar el polinomio $\prod_{k=1}^n (x^k-1)$.