Si una álgebra C* $A=\overline{\bigcup S}$ , donde $S$ es una clase de subálgebras C* primarias, entonces $A$ es primo.

Question

Esta es la pregunta 5.6 de Murphy's C $^*$ -Algebras y teoría de operadores :

Dejemos que $S$ sea un conjunto de subálgebras C* de un álgebra C* $A$ es decir Dirigido hacia arriba es decir, si $B,C\in S$ entonces existe $D\in S$ tal que $B,C\subseteq D$ . Demostrar que $\overline{(\bigcup S)}$ es una subálgebra C* de $A$ . Supongamos que todas las álgebras de $S$ son primos y que $A=\overline{\bigcup S}$ . Demostrar que $A$ es primo.

A C $^*$ -Álgebra $A$ es prime si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Para cualquier ideal cerrado $I,J\subseteq A$ , $IJ=0$ implica $I$ o $J=0$ .
2. La intersección de dos ideales cerrados no nulos cualesquiera en $A$ es distinto de cero.
3. Para cualquier $a,b\in A$ , $aAb=0$ implica $a$ o $b=0$ .
4. Para cualquier ideal cerrado no nulo $I$ de $A$ , el "aniquilador" $I^\perp=\left\{x\in A:\forall i\in I, xi=0\right\}$ es cero.

(En el punto 1, $IJ$ es el cierre de $span\left\{ij:i\in I, j\in J\right\}$ y de hecho $IJ=I\cap J$ .)

Lo que he hecho: La primera parte (que $\overline{(\bigcup S)}$ es un álgebra C*) es bastante fácil, y estoy luchando con la segunda.

Si los elementos de $S$ fueron ideales Podría resolverlo (utilizando la condición 3.): si $aAb=0$ con $a\neq 0$ podemos tomar una unidad aproximada en $\bigcup S$ y obtener $I\in S$ y $u\in I$ con $au\simeq a$ y $ub\simeq b$ . Entonces $(au)I(ub)=0$ y la primacía de $I$ implica $b\simeq ub=0$ ya que $au\simeq a\neq 0$ (las "igualdades aproximadas" $\simeq$ significa un $\epsilon$ -).

Pero como los elementos de $S$ son simplemente subálgebras no sé qué hacer. Lo mejor que se me ocurre es lo siguiente: Supongamos que $aAb=0$ con $a,b\neq 0$ y busquemos una contradicción. Aproximamos $a$ y $b$ por elementos $a'$ y $b'$ (con la misma norma, digamos) de algún $B\in S$ pero no hay ninguna razón para que $a'Bb'=0$ (lo que resolvería nuestro problema, igual que el anterior).

Answer 1

He aquí un argumento para la última parte.

Suponiendo que ya sabemos que $I=\overline{\bigcup_{B}B\cap I}$ :

Si $I,J$ son ideales en $A$ y $IJ=0$ entonces para cualquier $B\in S$ tenemos $0=B\cap IJ=(B\cap I)(B\cap J)$ . Como $B$ es primo, $B\cap I=0$ o $B\cap J=0$ . Supongamos que $B_1\cap I\ne0$ y $B_2\cap J\ne0$ con $B_1\subset B_2$ Entonces $B_2\cap I\supseteq B_1\cap I\ne0$ , lo que implicaría que $B_2\cap J=0$ . Esto demuestra que no puede existir tal par, es decir, o bien $B\cap I=0$ para todos $B$ o $B\cap J=0$ para todos $B$ . En el primer caso, $$ I=\overline{\bigcup_BB\cap I}=0, $$ mientras que en la segunda $J=0$ . Así que $A$ es primo.

Answer 2

Nuestro principal problema es que, en principio, no podemos simplemente "mapear la pregunta" a los elementos de $S$ tomando las intersecciones. Para resolver esto, podemos utilizar un argumento similar al de la demostración del Teorema 6.2.6 del mismo libro (e incluso utilizaré la misma notación).

Dado un ideal $I$ de $A$ , dejemos que $J=\overline{\left(\bigcup_{B\in S}B\cap I\right)}$ . Entonces $J$ es un ideal cerrado en $A$ contenida en $I$ . Demostraremos que $J=I$ mostrando que el bien definido $*$ -homorfismo $\varphi:A/J\to A/I$ , $\varphi(a+J)=a+I$ es una isometría.

Tenga en cuenta que $A/J=\overline{\left(\bigcup_{B\in S}(B+J)/J\right)}$ por lo que basta con demostrar que $\varphi$ es isométrica en cada sub-C*-álgebra $(B+J)/J$ para $B\in S$ . Sea $\psi:(B+J)/J\to B/(B\cap J)=B/(B\cap I)$ y $\theta:(B+I)/I\to B/(B\cap I)$ denotan la canónica $*$ -isomorfismos, y $i:(B+I)/I\to A/I$ sea la inclusión. Entonces $\varphi$ es igual a $i\theta^{-1}\psi$ en $(B+J)/J$ es una composición de homomorfismos isométricos, por lo que es isométrica.

Así, hemos demostrado que $I=\overline{\left(\bigcup_{B\in S}B\cap I\right)}$ para cada ideal $I$ en $A$ .

Ahora dejemos que $I$ sea un ideal no nulo de $A$ . Desde $I=\overline{\left(\bigcup_{B\in S}B\cap I\right)}$ entonces $I\cap B$ es distinto de cero para cada $B\in S$ suficientemente grande. Dado que $B$ es primo, el aniquilador de $B\cap I$ dentro de $B$ es cero, es decir, $(B\cap I)^{\perp,B}=B\cap I^\perp=0$ . Desde $I^\perp$ es también un ideal de $A$ también obtenemos $I^\perp=\overline{\left(\bigcup_{B\in S}B\cap I^\perp\right)}=0$ . Esto demuestra que $A$ es primo.