¿Necesitas el Axioma de la Elección para afirmar que cada espacio vectorial real tiene una norma?

Question

Gente de las matemáticas:

Esta pregunta tiene una respuesta del 95% (la primera respuesta) en ¿Todos los $ \mathbb {R}, \mathbb {C}$ el espacio vectorial tiene una norma? y Espacios Vectoriales y AC . Las preguntas, respuestas y enlaces que se encuentran allí parecen afirmar que si se asume el Axioma de la Elección, entonces cada espacio vectorial tiene una base de Hamel y por lo tanto una norma, y a la inversa, si se asume que cada espacio vectorial tiene una base de Hamel, entonces le sigue AC.

Pero una norma no tiene que ser dada por una base de Hamel. Por ejemplo, en $L^2([0,1])$ puedes usar la norma estándar, que no creo que pueda ser definida usando una base de Hamel, aunque puede ser definida usando una base de Schauder. Así que creo que la pregunta sigue abierta.

Quiero que el campo subyacente sean los números reales.

Stefan (STack Exchange FAN)

Answer 1

Es coherente que el axioma de elección falle y exista un espacio vectorial sobre los números reales que no puede ser un espacio vectorial topológico de manera no trivial, y en particular significa que no puede ser normalizado, ya que la norma induciría una topología no trivial.

La construcción se debe a Läuchli, de 1963 (y la extensión a los espacios vectoriales reales se desprende de mi tesis de maestría).

La pregunta más interesante es si la afirmación "cada espacio vectorial tiene una norma" implica el axioma de la elección. La respuesta a eso, no la sé en este momento.