Encontrar el polinomio mínimo de ${e^{{2\pi}i/3}} + 2$ $\mathbb{Q}$

Question

Estoy tratando de encontrar el polinomio mínimo de esto. He intentado configurar ${e^{{2\pi}i/3}} + 2$ $\alpha$ pero se quedó atascado allí. Ayuda sería mucho apreció.

Answer 1

Indirecta: $$\alpha = e^{2\pi i/3}+2\Longrightarrow\alpha -2=e^{2\pi i/3}\Longrightarrow (\alpha -2)^3=(e^{2\pi i/3})^3$ $

A continuación utilice el Teorema de la raíz racional teniendo en cuenta que se va tratando con un polinomio de grado $3$. Si es necesario usar la división larga polinómica para ayudarle a encontrar un polinomio irreducible.

Answer 2

$\alpha=2+e^{i2\pi/3}\implies \alpha-2=e^{2i\pi/3}$ y entonces el $(\alpha-2)^2=e^{4i\pi/3}$

Desde $e^{2i\pi/3}+e^{4i\pi/3}=-1\implies (\alpha-2)^2+(\alpha-2)=-1$

Este es un polinomio de grado $2$

Answer 3

Supongamos que tomamos ${e^{{2\pi}i/3}} + 2$ = $\alpha$ que el anterior. Entonces $(\alpha-2)^3$ = $e^{{2\pi}i}$ y célebremente $e^{{2\pi}i}$ = 1.

Así que simplificando obtenemos $\alpha^3-6\alpha^2+12\alpha-7=0$

Criterio de Eisenstein sabemos esto es irreducible con $p=3$ y es fácil demostrar que ${e^{{2\pi}i/3}} + 2$ es una raíz. Por lo tanto el polinomio mínimo $\mathbb{Q}$.