Ejemplos de campos que no son perfectos

Question

Sabemos que todos los campos finitos son perfectos (los campos con char $p$). También campos char 0 (infinitos campos) son perfectos. Entonces ¿cuáles son los campos que no son perfectos?

Answer 1

Ejemplo de campo no perfecto: $\,\mathbb F_p(T)=\,$ el campo de funciones racionales en un desconocido (elemento trascendental) $\,T\,$.

¿Por qué? Es el polinomio $\,f(x)=x^p-T\in\mathbb F_p(T)[x]\,$

$\,(1)\,\,$ irreducible: criterio de Eisenstein se aplican en la UFD $\,\mathbb F_p[T]\subset \mathbb F_p(T)\,$ y el primer $\,T\,$ en ella

$\,(2)\,\,$ % Que $\,\alpha\,$ser cierta raíz de $\,f(x)\,$ en alguna extensión de campo, entonces $$\alpha^p=T\Longrightarrow x^p-\alpha^p=(x-\alpha)^p\in\mathbb F_p[T]$$and thus $\,\alpha\,$ is the unique root of $\,f (x) \,$, what makes this irreducible polynomial as inseparable as one could ever hope and, thus, the field $\,\mathbb F_p (T) \, $ es perfecto no.