Encontrar todos los números complejos, de modo que $Im(\frac{z+2}{2-i})=1$$Re(z^2+1)=1$$z$, que está en el primer cuadrante encontrar $\sqrt{z}$.
Si $z=x+iy$ $$\frac{z+2}{2-i}=\frac{x+2+iy}{2-i}\times \frac{2+i}{2+i}=\frac{2x-y+4+i(x+2+2y)}{5}=\frac{2x-y+4}{5}+i\frac{x+2+2y}{5}$$ $Im(\frac{z+2}{2-i})=\frac{x+2+2y}{5}=1$
Esto da la ecuación de $$x+2y=3$$
$$z^2+1=(x+iy)^2+1=x^2+2xyi-y^2=(x^2-y^2)+2xyi$$ $Re(z^2+1)=x^2-y^2=1$
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales $$ \left\{ \begin{array}{c} x+2y=3 \\ x^2-y^2=1 \end{array} \right. $$ Puedo conseguir $$x_1=\frac{4\sqrt3-3}{3}$$ $$y_1=\frac{6-2\sqrt3}{3}$$ $$x_2=\frac{-3-4\sqrt3}{3}$$ $$y_2=\frac{6+2\sqrt3}{3}$$
Ahora,
$$z_1=\frac{4\sqrt3-3}{3}+i\frac{6-2\sqrt3}{3}$$ $$z_2=\frac{-3-4\sqrt3}{3}+i\frac{6+2\sqrt3}{3}$$
Es esto correcto, porque no tengo buenos valores de $arg(z)$$module(z)$?
Complejo de número de $z_1$ está en el primer cuadrante, por lo $\sqrt{z_1}=?$
He encontrado el módulo de $z_1$ $$\rho=\sqrt{\frac{35-16\sqrt3}{3}}$$ and argument of $z_1$ as $$cos\phi=0.84$$ $$sin\phi=0.54$$ which I think is wrong. Approximately, this would be $$\phi=\frac{\pi}{6}$$
Ahora, utilizando la fórmula de Moivre, $$\sqrt[n]{z_k}=\sqrt[n]{\rho}(cos\frac{\phi+2k\pi}{n}+isin\frac{\phi+2k\pi}{n})$$ there are two roots for $\sqrt{z_1}$ for $k=0$ and $k=1$ $$\sqrt{z_0}=\sqrt{\rho}(cos\frac{\pi}{12}+isin\frac{\pi}{12})$$ y $$\sqrt{z_1}=\sqrt{\rho}(cos\frac{13\pi}{12}+isin\frac{13\pi}{12})$$
Puede alguien comprobar esto?
Gracias por las respuestas.
