Encontrar el maxmium absoluto de la función $f(x) = x \cdot {e}^{-x}$

Question

¿Cómo puedo encontrar el máximo absoluto de esta función exponencial?

$f(x) = x \cdot {e}^{-x}$

Sé que el primer paso es tomar la derivada de la función, así:

${f}^{\prime}(x) = x \cdot {e}^{-x}(-1) + {e}^{-x}(1)$

${f}^{\prime}(x) = {e}^{-x}(1 - x)$

A continuación, el siguiente paso es establecer la igualdad a cero y encontrar los puntos críticos para la primera derivada de la prueba. ¿Cómo puedo hacer eso con una función exponencial?

Podría alguien por favor, cómo han hecho eso?

Answer 1

$e^{-x}$ nunca es 0; pero eso es bueno aquí, porque puedes "tirarlo": $$ e ^ {- x} (1-x) = 0 \ iff 1-x = 0 \ iff x = 1. $$

(Un producto es 0 si y solo si uno de los factores es 0; por lo tanto, como$e^{-x}$ nunca es 0, la primera ecuación anterior se mantiene si y solo si la segunda lo hace. la ecuación anterior por$e^{-x}$ está justificada.)